On souhaite prouver le résultat suivant: les solutions des équations différentielles de la forme $(E):~y'=ay+f$ sont les fonctions $$y=Ce^{ax}+\phi(x)~~~~C\in \R$$avec $\phi$ une solution particulière de $(E)$.

1. Soit $g$ une solution de $(E)$. Montrer que la fonction $h$ définie par $h(x)=g(x)-\phi(x)$ est solution de l'équation $(E_0):~y'=ay$.
2. Réciproquement, si $h$ est solution de $(E_0)$ montrer que $g=h+\phi$ est solution de $(E)$.
3. Conclure

On considère l'équation différentielle$$(E):~y'+4y=8x^2-4x+3$$

1. On considère une solution particulière de $(E)$ de la forme $ax^2+bx+c$.
   Montrer que $a=2$, $b=-2$ et $c=\dfrac{5}{4}$.
2. Résoudre l'équation différentielle $(E_0):~y'+4y=0$
3. En déduire la solution de $(E)$ telle que $y(0)=2$.

On considère l'équation différentielle $$(E)~~y''-y=0$$où $y$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$.

1. Déterminer les réels $r$ tels que la fonction $h$ définie par $h(x)=e^{rx}$ soit solution de $(E)$.
2. Vérifier que les fonctions $\phi$ définies par $\phi(x)=\alpha e^x+\beta e^{-x}$, où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres réels, sont des solutions de $(E)$. On admet qu'on obtient ainsi toutes les solutions de $(E)$.
3. Déterminer la solution particulière de $(E)$ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées $(ln(2);~\dfrac{3}{4})$ et admet en ce point une tangente dont le coefficient directeur est $\dfrac{5}{4}$.

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur $\R$.

1. $f(x)=\dfrac{3x^2-4x+5}{x^3}$
2. $g(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$
3. $h(x)=sin(3x)-cos(\dfrac{x}{2})+2x$
4. $j(x)=4e^{-3x}+5xe^{x^2}+\dfrac{7}{\sqrt{x}}$

On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1 mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On appelle $g(t)$ la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l'instant $t$ exprimé en heures ($t\geq 0$).
On constate expérimentalement que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle:$$(E):~~y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}t}$$

1. On considère l'équation différentielle: $$(E'):~~y'+\frac{1}{2}y=0$$ Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $u$ définie par l'équation $u(t)=ate^{-\frac{1}{2}t}$ soit solution de $(E)$.
2. Montrer qu'une fonction $v$ est solution de $(E)$ si et seulement si la fonction $h=v-u$ est solution de l'équation $(E')$.
3. Résoudre l'équation $(E')$.
4. En déduire les solutions de l'équation $(E)$.

On cherche une primitive de la fonction $f$ définie sur $[0;~+\infin[$ par: $$f(x)=\dfrac{ln(e^{2x}-1)}{e^x}$$

1. Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle: $$y'+y=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{e^x}{e^x+1}$$
2. On pose $h(x)=\dfrac{e^x}{e^x-1}-\dfrac{e^x}{e^x+1}$.
   1. Trouver une primitive $H$ de $h$ sur l'intervalle $]0;~+\infin[$.
   2. En déduire les primitives $F$ de $f$ sur l'intervalle $]0;~+\infin[$.