Les exercices

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Exercice 1 - Primitives de fonctions usuelles

  1. Déterminer une primitive sur R\R de la fonction f:x5x+3f:x \mapsto 5x+3
  2. Déterminer une primitive sur R\R de la fonction f:x2ex5x2+x2f:x \mapsto 2e^x-5x^2+\dfrac{x}{2}
  3. La fonction définie par F:x4x+1x2F:x \mapsto \dfrac{4x+1}{x-2} est-elle une primitive de f: x9(x2)2f:~x \mapsto \dfrac{9}{(x-2)^2}.
  4. La fonction définie par F:xx(ln(x)1)+5F:x \mapsto x(ln(x)-1)+5 est-elle une primitive de f: xln(x)f:~x \mapsto ln(x).

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Exercice 2 - Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Déterminer dans chacun des cas suivants si la fonction proposée est solution de l'équation différentielle qui lui est associée.

  1. f:x3x25x+7f:x \mapsto 3x^2-\dfrac{5}{x}+7 et (E): y=6x5x2(E):~y'=6x-\dfrac{5}{x^2}
  2. f:x4x37x2+8x+1f:x \mapsto 4x^3-7x^2+8x+1 et (E): y+y=4x3+5x26x+9(E):~y'+y=4x^3+5x^2-6x+9
  3. f:x3e2xf:x \mapsto 3e^{-2x} et (E): y=2y(E):~y'=-2y
  4. f:xln(x2x6)f:x \mapsto ln(x^2-x-6) et (E): y=2x1x2x6(E):~y'=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}

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Exercice 3 - Des primitives spécifiques

Déterminer dans chacun des cas suivants la primitive de la fonction qui vérifie la condition spécifiée.

  1. Trouver la primitive de f:x2x+cos(x)f:x \mapsto \dfrac{2}{x}+cos(x) qui s'annule en π\pi
  2. Trouver la primitive GG de g:xe2x(exex)g:x \mapsto e^{2x}(e^{-x}-e^{x}) telle que G(1)=1G(1)=-1
  3. Trouver la primitive HH de h:x1x+1x21x3h:x \mapsto \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^3} telle que H(4)=1H(4)=1
  4. Trouver la primitive FF de f:x12x1f:x \mapsto \dfrac{1}{2x-1} telle que F(2)=0F(2)=0

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Exercice 4 - Équations différentielles de la forme y=ayy'=ay

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

  1. 4y+y=04y'+y=0 avec y(2)=3y(2)=3
  2. 5y2y=05y'-2y=0 avec y(1)=1y'(-1)=1
  3. y3y2=y\dfrac{y'-3y}{2}=-y avec y(0)=4y(0)=4
  4. 23y+2y5=0\dfrac{2}{3}y'+\dfrac{\sqrt{2}y}{5}=0 avec y(1)=5y'(1)=5

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Exercice 5 - Équations différentielles de la forme y=ay+by'=ay+b

Résoudre les équations différentielles suivantes avec la condition spécifiée.

  1. 3y=6y53y'=6y-5 avec y(1)=2y(1)=2
  2. 2y3y3=02y'-3y-3=0 avec y(3)=0y(3)=0
  3. y+3y5=2yy+1y'+3y-5=2y'-y+1 avec y(0)=5y'(0)=5
  4. 3(eyy)=2y+63(ey'-y)=\sqrt{2}y+6 avec y(0)=2y(0)=-2

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