Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.

1. Montrer que pour tous nombres réels $a$ et $b$, $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.
2. Calculer $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$.
3. En déduire que $f$ est dérivable en $3$ et que $f'(3)=27$
4. En utilisant un calcul similaire à celui de la question 2, prouver que $f'(x)=3x^2$ pour tout $x\in \R$.

Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité des fonctions suivantes puis calculer la fonction dérivée.

1. $f(x)=\dfrac{3x^2+2x+1}{6}$
2. $g(x)=(1-3x^2)\sqrt{x}$
3. $h(x)=\dfrac{2x^2-1}{x^2+x+1})$
4. $k(x)=(7x-3)^4$
5. $j(x)=\sqrt{4x+5}$

Soit $f$ la fonction de courbe représentative $C_f$ définie par:$$f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x-1}$$

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ et de dérivabilité $D_{f'}$ de la fonction $f$.
2. Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in D_{f'}$.
3. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $-1$.
4. La courbe de la fonction admet-elle des tangentes horizontales? Si oui, pour quelle valeurs de $x$?
5. On considère la droite $(d)$ d'équation $y=2x-\dfrac{7}{2}$. Déterminer les coordonnées des points de la courbe $C_f$ pour lesquels la tangente à $C_f$ est parallèle à $(d)$.

Soit $f$ la fonction définie par:$$f(x)=(x^3-2x+5)(2x^2+1)$$

1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ et de dérivabilité $D_{f'}$ de la fonction $f$.
2. Calculer $f'(x)$ après avoir développé $f(x)$.
3. Calculer $f'(x)$ en utilisant la formule de la dérivée d'un produit de fonctions.
4. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe en $x=1$.