Dérivation partie 1

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Les exercices

Exercice 1 - Tangentes d'un polynôme du 3ème degré

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x^2-45x+20$.

  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Pour quelles valeurs de $x$ cette fonction admet-elle des tangentes horizontales?
  3. Déterminer les équations de ces tangentes horizontales.
  4. Cette fonction admet-elle des tangentes de coefficient directeur $27$? Si oui, pour quelles valeur de $x$?

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Exercice 2 - Fonctions avec tangente commune

On considère la fonction $f$ d'équation $f(x)=3x^2+4x+2$ de courbe représentative $C_f$ et la fonction $g$ d'équation $g(x)=-2x^2+14x-3$ de courbe représentative $C_g$.

  1. Montrer que le point $A(1;~9)$ est le point est l'unique point d'intersection de $C_f$ et $C_g$.
  2. Calculer pour tout $x\in \R$, $f'(x)$ et $g'(x)$.
  3. Montrer que $x=1$ est l'unique solution de l'équation $f'(x)=g'(x)$
  4. En déduire que $C_f$ et $C_g$ admettent une tangente commune et déterminer une équation de cette tangente.
  5. En s'inspirant des étapes précédentes, montrer que les fonctions $h$ et $k$ d'équations respectives $h(x)=2x^2+2x+1$ et $k(x)=-x^2+8x-2$ ont une tangente commune dont on déterminera l'équation.

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Exercice 3 - La dérivée en économie

Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton. La production quotidienne varie entre 1 et 10 kilomètres de tissu.
On not $x$ la production de tissu en kilomètres.
Le coût total de production, exprimé en euros, de $x$ kilomètres de tissu est donné par la fonction $C$ définie pour $x$ appartenant à $[1;~10]$ par: $$C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$$

PARTIE A

On appelle coût moyen de production la fonction $C_m$ définie sur l'intervalle $[1;~10]$ par:$$C_m(x)=\dfrac{C(x)}{x}$$ La représentation graphique de la fonction $C_m$ est donnée ci-contre.

  1. Donner par lecture graphique une valeur approchée de $C_m(7)$.
  2. À l'aide de la représentation graphique, donner le tableau de variations de $C_m$ sur $[1;~10]$.
  3. Déterminer par lecture graphique combien de kilomètres de tissu l'entreprise doit fabriquer pour que le coût moyen de production soit minimal. Quelle est alors la valeur de $C_{m}'(x)$ en ce point?
  4. Montrer que $C_{m}'(x)=\dfrac{30x^3-120x^2-750}{x^2}$
  5. Confirmer le résultat de la question 3.

PARTIE B

On suppose que l'entreprise vend chaque jour sa production journalière
Le prix de vente d'un kilomètre de tissu est de 680 euros.
On rappelle que le nombre de kilomètres de tissu x fabriqués varie chaque jour entre 1 et 10.
On note $R(x)$ la recette, exprimée en euros, correspondant à la vente de $x$ kilomètres de tissu.
On note $B(x)$ le bénéfice, exprimé en euros, réalisé par l'entreprise pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
  2. Justifier que l'expression de $B(x)$ en fonction de $x$ est: $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
  3. On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[1;~10]$, calculer $B'(x)$.
  4. Étudier pour tout $x$ réel le signe du trinôme $-45x^2+240x+180$.
  5. En déduire le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle $[1;~10]$.
  6. La fonction $B$ atteint son maximum sur cet intervalle quand sa fonction dérivée s'annule. En déduire la valeur du bénéfice maximal

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