$f(x)=xe^{-x}+1$

1. Montrer que pour tout réel $x$ on a $f'(x)=e^{-x}(1-x)$ et déterminer les variations de $f$ sur $\R$
2. Montrer que l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=x+1$
3. Montrer que $f''(x)=e^{-x}(x-2)$ et déterminer la convexité de $f$ sur $\R$
4. En déduire la position relative de $T$ et $C_f$

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois. Le coût total de production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 10]$ par

Lorsque $x$ est exprimé en centaines de paniers, $C(x)$ est égal au coût total exprimé en centaines d'euros. On admet que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle $[0 ; 10]$, le coût marginal est donné par la fonction $C_m =C'$ où $C'$ est la fonction dérivée de $C$.

1. Calculer $Cm(6)$, le coût marginal pour six cents paniers vendus.

On note $C''$ la fonction dérivée seconde de C et on a $C''(x)=-\frac{1}{4}x^2+\frac{15}{8}x$

2. Déterminer le plus grand intervalle de la forme $[0 ; a]$ inclus dans $[0 ; 10]$ sur lequel la fonction $C$ est convexe.
3. Que peut-on dire du point d'abscisse $a$ de la courbe de la fonction $C$? Interpréter cette valeur de $a$ en termes de coût.

1. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^x$
1. Montrer que $f$ est convexe sur $\R$ et déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ en $x=0$
2. En déduire que pour tout $x \in \R$, $e^x \geq x+1$
2. Soit $f$ définie sur $[0;+\infin[$ par $f(x)=\sqrt{x}$
1. Montrer que $f$ est concave sur $]0;+\infin[$ et déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ en $x=1$
2. En déduire que pour tout $x \in \R$, $\sqrt{x} \leq \frac{x}{2}+\frac{1}{2}$
3. En utilisant une méthode similaire, montrer que $(1+x)^n \geq 1+nx$ pour tout réel $x\geq 0$ et $n\in \N$