Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes:

1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sqrt{x^3-4x^2+3x+1}$
2. $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(3e^x+5x^2-1)^4$
3. $h$ définie sur $\R \backslash \{3\}$ par $h(x)=e^{\frac{x+1}{x-3}}$
4. $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=\frac{5}{x^2+x+1}$

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^3-8x^2+10x-15$

1. Étudier les variations de $f$ sur $\R$
2. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$
3. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0;60]$ dont la courbe est donnée ci-dessous.

1. En argumentant la réponse, donner le signe de $f'(54)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
2. Déterminer graphiquement un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

$f$ est définie sur $[0;60]$ par $f(x)=6+(60-x)e^{0,1x-5}.$

3. Calculer $f'$ puis $f''(x)$ et vérifier les résultats des questions précédentes.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-5x^2+5)e^x$

1. Montrer que $f'(x)=(-5x^2-10x+5)e^x$ et dresser le tableau de variations de $f$
2. Montrer que $f''(x)=-(5x^2+20x+5)e^x$
3. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ en précisant les éventuels point d'inflexion.

Calculer les dérivées des fonctions composées suivantes:

1. $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{x^2-3}$
2. $g$ définie sur $\R^+$ par $g(x)=\sqrt{x^2+\sqrt{x}}$
3. $h$ définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $h(x)=(\dfrac{2x+4}{x-1})^2$
4. $k$ définie sur $\R$ par $k(x)=\sqrt{e^{2x}+3x^2}$

$f$ est dérivable sur $[0;15]$ et sa dérivée $f'$ est continue sur $[0;15]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau suivant.

1. $C_f$ admet-elle des tangentes parallèlès horizontales? Justifier.
2. Déterminer la convexité de $f$ sur $\R$.
3. En déduire les potentiels points d'inflexion de $f$