Contrôles d'entraînement
Contrôle d'entraînement sur la Continuité - 1
Exercice 1D'après Bac Polynésie 2010
Soit $g$ la fonction définie sur $[0;+\infin[$ par,
$$g(x)=e^x-xe^x+1$$- Déterminer la limite de $g$ en $+\infin$
- Dresser le tableau de variations de la fonction $g$
- Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet sur $[0;+\infin[$ une unique solution notée $\alpha$.
- À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$
- Démontrer que $e^{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha-1}$
- Faire le tableau de signe de la fonction $g$.
- Montrer que $h'(x)=\dfrac{4g(x)}{(e^x+1)^2}$.
- En déduire le tableau de variations de $g$
- Montrer que $h(\alpha)=4(\alpha-1)$
- En déduire un encadrement du maximum de la fonction $h$ sur $[0;+\infin[$
Soit $h$ la fonction définie sur $[0;+\infin[$ par,
$$h(x)=\dfrac{4x}{e^x+1}$$Exercice 2D'après Bac Métropole 2012
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par: $$\begin{cases}u_{0}=3\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_{n}+\dfrac{7}{u_n})\end{cases}$$
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$
- On désigne par $f$ la fonction définie sur $]0;+\infin[$ par $$f(x)=\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{7}{x})$$ Démontrer que la fonction admet un minimum sur $]0;+\infin[$
- En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq \sqrt{7}$
- Soit $n$ un entier naturel quelconque. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
- En déduire que $(u_n)$ est convergente.
- Résoudre l'équation $\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{7}{x})=x$
- En déduire la limite de $(u_n)$.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\dfrac{(u_n-\sqrt{7})^2}{u_n}$
- On définit la suite $(d_n)$ par $$\begin{cases}d_{0}=1\\ d_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_{n}^2\end{cases}$$
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ $$u_n-\sqrt{7}\leq d_n$$
- Cet algorithme affiche la valeur 5. Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_5$? Justifier que $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
Contrôle d'entraînement sur la Continuité - 2
Exercice 1D'après Bac Antilles-Guyane 2001
Partie A: Étude d’une fonction auxiliaire
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x) = 2e^x - x - 2.$$- Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$.
- Étudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations.
- On admet que l’équation $g(x) = 0$ a exactement deux solutions réelles.
- Vérifier que $0$ est l’une de ces solutions.
- L’autre solution est appelée $\alpha$. Montrer que $-1.6 \leq \alpha \leq -1.5$.
- Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
Partie B: Étude de la fonction principale
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$ f(x) = e^{2x} - (x + 1)e^x. $$- Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
(On pourra mettre $e^{2x}$ en facteur.) - Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
Étudier le sens de variation de $f$. - Montrer que $f(\alpha) = -{\small \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}}$ où $\alpha$ est défini dans la partie B.
En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
(On rappelle que $-1.6 \leq \alpha \leq -1.5$.) - Établir le tableau de variations de $f$.
Exercice 2D'après Bac Métropole 2012
On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par: $$\begin{cases}u_{0}=3\\ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_{n}+\dfrac{7}{u_n})\end{cases}$$
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$
- On désigne par $f$ la fonction définie sur $]0;+\infin[$ par $$f(x)=\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{7}{x})$$ Démontrer que la fonction admet un minimum sur $]0;+\infin[$
- En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq \sqrt{7}$
- Soit $n$ un entier naturel quelconque. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
- En déduire que $(u_n)$ est convergente.
- Résoudre l'équation $\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{7}{x})=x$
- En déduire la limite de $(u_n)$.
- Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-\sqrt{7}=\dfrac{1}{2}\dfrac{(u_n-\sqrt{7})^2}{u_n}$
- On définit la suite $(d_n)$ par $$\begin{cases}d_{0}=1\\ d_{n+1}=\dfrac{1}{2}d_{n}^2\end{cases}$$
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ $$u_n-\sqrt{7}\leq d_n$$
- Cet algorithme affiche la valeur 5. Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_5$? Justifier que $u_5$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{-9}$ près.
