Continuité

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Les exercices

Exercice 1 - Déterminer la continuité d'une fonction par morceaux

Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $f$ définie par:

$\begin{cases}ax^2+bx+1 &\text{si } x<-1\\ ax+b &\text{si } -1\leq x< 3\\ x^2-ax-b &\text{si } x\geq 3\end{cases}$

Cette fonction peut-elle être continue sur $\R$? Si oui, pour quelles valeurs de $a$ et $b$?

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Exercice 2 - Continuité d'une fonction en un point

Soit $f$ la fonction définie par:

$\begin{cases}f(x)=\dfrac{x^2-x-2}{x-2} &\text{si } x\not = 2\\ f(2)=3\end{cases}$

Cette fonction est-elle continue en $2$?

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Exercice 3 - Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par:

$$f(x)=2x^3-3x^2-1$$
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infin$ et $+\infin$ et dresser le tableau de variations de $f$.
  2. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ et que $\alpha \in ]1;2[$
  3. En déduire le signe de $f$ sur $\R$.

    4. On considère la fonction $g$ définie sur $]-1;+\infin[$ par $g(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$

  4. Déterminer la limite de $g$ en $-1$ et $+\infin$
  5. Après avoir justifié la dérivabilité de $g$ sur $]-1;+\infin[$, montrer que $g'(x)=\dfrac{f(x)}{(1+x^3)^2}$
  6. En déduire le tableau de variation de $g$

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Exercice 4 - Etude d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire - 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ g(x) = (x + 2)e^{x - 4} - 2. $$
  1. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
  2. Démontrer que la limite de $g$ en $-\infty$ vaut $-2$.
  3. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g'$ sa dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ puis dresser le tableau de variations de $g$.
  4. Démontrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
  5. En déduire le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
  6. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement d’amplitude $10^{-3}$ de $\alpha$.

Partie B : Étude de la fonction $f$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = x^2 - x^2e^{x - 4}. $$
  1. Résoudre l’équation $f(x) = 0$ sur $\mathbb{R}$.
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    On admet par ailleurs que, pour tout réel $x$, $f'(x) = -xg(x)$ où la fonction $g$ est celle définie à la partie A.
    Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Démontrer que le maximum de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ est égal à $\dfrac{\alpha^3}{\alpha + 2}.$

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