Les exercices

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Exercice 1 - TVI et algorithme python

On souhaite résoudre l'équation (E):ex=x+2(E): e^x=x+2 dans R\R. Pour cela on va étudier la fonction f(x)=exx2f(x)=e^x-x-2

  1. Dresser la tableau de variations de ff sur R\R
  2. Déterminer le nombre de solutions de (E)(E)
  3. Préciser ce que fait l'algorithme ci-dessous

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Gratuit
Exercice 2 - TVI, continuité et dérivée seconde

Soit ff la fonction définie sur R\R par: f(x)=x4+2x3+3x+1f(x)=-x^4+2x^3+3x+1

  1. Calculer f(x)f'(x) et f(x)f''(x) puis dresser le tableau de variations de ff'
  2. En déduire que l'équation f(x)=0f'(x)=0 admet une unique solution sur R\R notée α\alpha.
  3. Dresser le tableau de signe de ff' puis le tableau de variations de ff.

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Exercice 3 - Nombre de solutions en fonction d'un paramètre

On considère la fonction définie par f(x)=x3x1f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}

  1. Déterminer l'ensemble de définition de ff puis dresser le tableau de variations de ff
  2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=kf(x)=k

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Exercice 4 - Suite définie avec une fonction et limite

On considère la suite définie par {u0=12un+1=4un1+3un\begin{cases}u_{0}=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{4u_n}{1+3u_n}\end{cases}

  1. Déterminer la fonction ff telle que un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) et donner son ensemble de définition
  2. Etudier les variation de ff sur R\R
  3. Montrer que pour tout entier naturel nn on a 12unun+12\frac{1}{2}\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2
  4. En déduire que la suite (un)(u_n) est convergente et déterminer la valeur de sa limite

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Exercice 5 - Prouver le théorème du point fixe

On considère une fonction ff continue sur un intervalle II et (un)(u_n) une suite d'éléments de II telle que limn+un=aet\lim\limits_{n \to +\infin }u_n=a et u_{n+1}=f(u_n)$.

  1. Rappeler la définition de "ff est continue en aa"
  2. En utilisant la propriété de composition des limites en déduire que limn+f(un)=f(a)\lim\limits_{n \to +\infin }f(u_n)=f(a)
  3. Conclure

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Exercice 6 - Un nombre précis de solutions

Montrer que l'équation x35x2+3x+1=0x^3-5x^2+3x+1=0 admet exactement trois solutions réelles.

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