On souhaite tester une pièce pour savoir si elle est truquée. On s'intéresse en particulier à l'apparition de "face". On note $p$ la probabilité d'obtenir "face". Pour cela, on lance $n$ fois la même pièce avec $n$ entier naturel non nul. On note $M$ la fréquence empirique d'apparition de "face" et $S$ le nombre de fois que l'on a obtenu "face" parmi les $n$ lancers.

1. Exprimer $M$ en fonction de $S$.
2. En déduire l'espérance et la variance de $M$.
3. On considère que la pièce n’est pas truquée. Déterminer un nombre $n_0$ de lancers de pièce permettant d’affirmer, avec un risque inférieur à 5%, que la fréquence empirique d’apparition de "face" diffère de $\frac{1}{2}$ de plus de 0,02.
4. On lance le dé $n_0$ fois et on obtient une fréquence de "face" de 55%. Que peut-on en conclure ?