Soit $x$ un nombre réel

1. Montrer que $(cosx)^4-(sinx)^4=(cosx+sinx)(cosx-sinx)$
2. Montrer que $(cosx+sinx)^2+(cosx-sinx)^2=2$
3. Montrer que $(cosx+2sinx)^2+(2cosx-sinx)^2=5$

Soit $x$ un nombre réel tel que $cos(3x)=\frac{1}{2}$

1. Donner les valeurs possibles de $3x$ sous la forme $mesure+k\times 2\pi$
2. En déduire les valeurs possibles de $x$
3. Conclure et donner les solutions de l'équation initiale dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$

Résoudre les équations suivantes

1. $sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$
2. $cos(x)=-\frac{1}{2}$ sur $]0;4\pi]$
3. $cos^2(x)=\frac{3}{4}$ sur $]-2\pi;2\pi]$
4. $cos(2x+\frac{\pi}{3})=cos(x-\frac{\pi}{6})$ sur $]-\pi;\pi]$
5. $sin(-x+\frac{\pi}{4})=sin(3x)$ sur $[0;2\pi[$

Exprimer les expressions suivantes en fonction de $cos(x)$ et $sin(x)$ en utilisant les angles associés

1. $A=2cos(\frac{\pi}{2}+x)-3sin(\pi+x)+4sin(2\pi-x)$
2. $B=-cos(\pi-x)+2sin(\frac{\pi}{2}+x)-3cos(3\pi-x)$

Simplifier les expressions suivantes en utilisant les angles associés

3. $C=cos(\frac{2\pi}{5})+cos(\frac{6\pi}{5})+cos(\frac{7\pi}{5})+cos(\frac{11\pi}{5})$
4. $D=sin(\frac{\pi}{8})+cos(\frac{2\pi}{5})+cos(\frac{3\pi}{5})-sin(\frac{7\pi}{8})$

Résoudre les inéquations suivantes

1. $cos(x)< -\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur $]-\pi;\pi]$
2. $sin(x)>\frac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi;3\pi]$
3. $cos(x)\leq \frac{1}{2}$ sur $]0;4\pi]$
4. $-2sin(x)+1>0$ sur $]-3\pi;\pi]$