Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier $n\geq 1$ par $u_{n}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+...+\frac{1}{n\times (n+1)}$

1. Calculer les 3 premiers termes de la suite
2. Étudier les variations de la suite
3. Montrer que $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ pour tout entier $k$
4. En déduire que $u_{n}=1-\frac{1}{n+1}$

Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier $u_{n}=\dfrac{(\frac{3}{2})^n}{n+1}$

1. Conjecturer le sens de variation de la suite avec la calculatrice
2. Démontrer que $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$
3. Montrer que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3n+3}{2n+4}$
4. Résoudre l'inéquation $\dfrac{3n+3}{2n+4}\geq 1$
5. En déduire les variations de la suite

Une foret compte 10 000 arbres en 2018. Chaque année 20% des arbres sont coupés, et 600 sont replantés. $u_{n}$ représente le nombre d'arbres en 2018+n. Ainsi $u_{0}=10 000$

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Qu'est-ce qu'ils représentent?
2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$
3. On admet que $u_{n}\geq 3000$. Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante
4. On aimerait ne pas couper plus de la moitié des arbres de la foret. Quel algorithme nous permet de connaitre l'année où il faut arrêter de couper?

    U ← 10 000
    N ← 0
    Tant que U ≤ 5000
      U ← 0,8×U+600
      N ← N+1
    Fin Tant Que

    U ← 10 000
    N ← 0
    Tant que U > 5000
      U ← 0,8N×U+600
      N ← N+1
    Fin Tant Que

    U ← 10 000
    N ← 0
    Tant que U ≥ 5000
      U ← 0,8×U+600
      N ← N+1
    Fin Tant Que

Le jeu consiste à déplacer tous les disques d'une tige sur un autre tige en respectant les règles suivantes.

• on déplace 1 seul disque à la fois
• on ne dépose pas un disque sur un disque qui est plus petit

1. Déterminer $u_1$ et $u_2$
2. Montrer que $u_3=7$
3. Déterminer une relation entre $u_{n+1}$ et$u_n$

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\sqrt{n}$

1. Montrer que $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
2. En déduire que la suite est croissante

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n\geq 1$ par $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{n+1}$ et $u_1=0$

1. Montrer que la suite est croissante
2. Calculer les 4 premiers termes de la suite sous forme de fraction
3. Conjecturer la valeur de $u_n$ en fonction de $n$
4. On pose $v_n=u_n+\frac{1}{n}$. En utilisant le fait que $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, montrer que la suite $(v_n)$ est constante.
5. Démontrer la conjecture de la question 3