On considère deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle.

1. Démontrer la formule de Bayes $$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\times P(A)}{P_A(B)\times P(A) + P_{\overline{A}}(B)\times P(\overline{A})}$$
Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel. Ce stage a été suivi par 25 % des salariés. Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage. On interroge au hasard un salarié de l'entreprise et on considère les évènements :
• F : « le salarié interrogé est une femme » • S : « le salarié interrogé a suivi le stage »
2. Donner la valeur de $P(S)$ et faire un arbre pondéré représentant la situation
3. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à 0,208
4. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
5. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l'entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier l'affirmation du directeur.

Pour mieux cerner le profil de ses clients, une banque réalise un sondage qui permet d’établir que :

1. 53% de ses clients ont plus de 50ans;
2. 32% de ses clients sont intéressés par des placements dits risqués;
3. 25% de ses clients de plus de 50ans sont intéressés par des placements dits risqués.

On choisit au hasard un client de cette banque et on considère les évènements suivants :

1. $A$: «Le client a plus de 50 ans»;
2. $R$: «Le client est intéressé par des placements dits risqués».

1. Donner $P(R)$ et $P_A(R)$
2. Représenter la situation par un arbre pondéré.Cet arbre pourra être complété par la suite.
3. Montrer que la probabilité que le client ait plus de 50 ans et soit intéressé par des placements dits risqués est 0,1325.
4. Sachant que le client est intéressé par des placements dits risqués, quelle est la probabilité qu’il ait plus de 50 ans ?
5. Calculer $P(\overline{A} \cap R)$ puis en déduire $P_{\overline{A}}(R)$. Interpréter les deux résultats obtenus.

La Commission Européenne, dans son rapport du 8 juillet 1999, détaille ainsi l’évaluation du test W pour le diagnostic de I’ESB (Encéphalopathie Spongiforme Bovine) :

1. la proportion des réactions POSITIVES au test effectué sur des tissus nerveux provenant d’animaux infectés est égale à 70 % ;
2. la proportion des réactions NÉGATIVES au test effectué sur des tissus nerveux provenant d’animaux non infectés est égale à 90 %.

On envisage un dépistage dans un cheptel bovin. On choisit dans le cheptel un animal au hasard. On désigne par:

1. $M$: « l’animal est malade »
2. $T$: « le test est positif »

PARTIE A

On estime à 0, 07 la fréquence d’animaux malades dans le cheptel.

1. Construire un arbre pondéré représentant cette situation et donner les valeurs manquantes.
2. En utilisant cet arbre calculer $P(M\cap T)$ puis $P(T)$
3. En déduire la probabilité que l’animal soit malade sachant que le test est positif. On donnera la valeur arrondie à $10^{-3}$.

PARTIE B

On estime maintenant à $x$ la fréquence d’animaux malades dans le cheptel.

1. Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
2. En utilisant cet arbre calculer $P(M\cap T)$ puis $P(T)$
3. On note $P_T(M)$ la probabilité que l'animal soit malade sachant que le test est positif. Montrer que $P_T(M)=\dfrac{7x}{6x+1}$
4. Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie sur $[0;1]$par $f(x)=\dfrac{7x}{6x+1}$. Résoudre sur $[0;1]$ l'inéquation $f(x)\geq 0,9$. Interpréter le résultat.

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés.

On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les évènements suivants:

1. D: « Le candida est retenu sur dossier »
2. E1: « Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien »
3. E2: « Le candidat est recruté ».

1. Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

2. Calculer la probabilité de l'évènement E1.
3. On note F l'évènement «Le candidat n'est pas recruté». Démontrer que la probabilité de l'évènement F est égale à 0, 93.

Le problème de Monty Hall est un problème probabiliste inspiré du jeu télévisé américain « Let's Make a Deal » (Monty Hall est le nom du présentateur de l'émission).

Les règles du jeu sont les suivantes: Le candidat a face à lui trois portes: deux portes cachent une chèvre et la dernière porte cache une voiture.

Le jeu se déroule en plusieurs étapes

1. le candidat choisit l'une des trois portes ;
2. le présentateur ouvre ensuite l'une des deux portes restantes cachant une chèvre ;
3. le présentateur propose au candidat de conserver la porte choisie initialement ou de modifier son choix ;
4. une fois le choix du candidat effectué, la porte qu'il a finalement choisie s'ouvre et le candidat remporte ce qui s'y cache.

On note les événements suivants :

1. $C_1$: « Le candidat choisit la porte ouvrant sur la chèvre 1 » ;
2. $C_2$: « Le candidat choisit la porte ouvrant sur la chèvre 2 » ;
3. $V$ : « Le candidat choisit la porte ouvrant sur la voiture » ;
4. $P_1$: « Le présentateur choisit la porte ouvrant sur la chèvre 1 » ;
5. $P_2$: « Le présentateur choisit la porte ouvrant sur la chèvre 2 ».

1. Construire l'arbre de probabilité si le candidat change de porte à l'étape 3
2. Calculer la probabilité que le candidat remporte la voiture en changeant de porte à l'étape 3.
3. Construire l'arbre de probabilité si le candidat ne change pas de porte à l'étape 3
4. Calculer la probabilité que le candidat remporte la voiture sans changer de porte.
5. Conclure