Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la binomiale $B(22; 0,13)$. Calculer les probabilités suivantes en détaillant la démarche.

1. $P_{X\geq 4}(X<12)$
2. $P_{X<11}(X=7)$
3. $P_{8\leq X\leq 15}(X<17)$
4. $P_{X<21}(16\leq X\leq 19)$
5. $P_{X\leq 5}(X>6)$

Chaque jour dans une classe de 25 élèves chaque élève arrive en retard indépendamment des autres avec probabilité 0,08. On s'intéresse au nombre d'élèves en retard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves en retard un certain jour.

1. Déterminer la loi suivie par $X$ et préciser ses paramètres
2. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter
3. Quelle est la probabilité que 2 élèves soient en retard?
4. Quelle est la probabilité qu'au moins 1 élève soit en retard?
5. Quelle est la probabilité qu'au maximum 4 élèves soient en retard?

On lance simultanément 2 dés non truqués à 6 faces. On s'intéresse à la somme des 2 chiffres obtenus.

1. Si on fait 1 lancer des 2 dés, quelle est la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à 9?
2. Au bout de 15 lancers quelle est la probabilité d'avoir obtenu 10 fois un total supérieur ou égal à 10?
3. Au bout de 20 lancers quelle est la probabilité d'avoir obtenu 10 fois un total compris entre 4 et 6?

Le programme Python ci-dessous permet de simuler une expérience aléatoire. Déterminer à partir de ce programme la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres

On choisit $n$ personnes au hasard (avec $n$ un entier naturel non nul) dans une population, et on assimile ces tirages à des tirages indépendants avec remise. La probabilité qu'une personne soit gauchère est de 12%.

1. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ d'avoir au moins 1 gaucher dans le groupe de $n$ personnes.
2. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0,99$. Interpréter cette inégalité avec une phrase.
3. Écrire un algorithme Python qui détermine le plus petit entier $n$ tel que $p_n \geq 0,99$
4. Déterminer cette valeur avec la calculatrice

La loi de probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi binomiale est donnée ci-dessous.

1. Calculer la probabilité manquante
2. Calculer $E(X)$
3. Calculer $P(X\geq 4)$
4. Peut-on affirmer que $P_{X\leq 3}(X\geq 2)=0,631$?
5. Déterminer les paramètres de cette loi binomiale