On se place dans un repère $(O;~\vec{i};~\vec{j};~\vec{k})$

On considère les points:

1. $A(1;~2;~0)$
2. $B(3;~0;~6)$
3. $C(6;~-1;~9)$
4. $D(-4;~4;~-6)$

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes?

On se place dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$. On considère les points: $A(1;-2;-1)$, $B(3;-5;-2)$ et $C(-1;1;0)$

1. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés?
2. On note $d_1$ la droite passant par les points $A$ et $B$. Donner une représentation paramétrique de la droite $d_1$.
3. On note $d_2$ la droite de représentation paramétrique: $$\begin{cases}x=2-t\\ y=1+2t\\ z=t\end{cases}$$ Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires
4. On considère la droite $d_3$ passant par le point $E(7;-6;-5)$ et de vecteur directeur $\vec{v}(0;5;-1)$. Montrer que $(AB)$ et $d_3$ sont sécantes en $D(7;-11;-4)$.

ABCD est un tétraèdre. $E$ est le milieu de $[BC]$ et $F$ le milieu de $[ED]$.

1. Prouver que $\vec{AF}=\frac{1}{4} \vec{AB} + \frac{1}{4} \vec{AC} + \frac{1}{2} \vec{AD}$