Cours de Mathématiques pour Lycéens Français

Exercice 1 - Cardinal d'union et de produit cartésien (principes additifs et multiplicatifs)

Pour chacune des situations suivantes compter le nombre de possibilités

Une classe contient 5 élèves qui font de l'allemand, 9 qui font de l'espagnol et 3 qui font du chinois. Chaque élève n'apprend que 1 seule langue, et on choisit 1 élève au hasard.
Au menu d'un restaurant il y a 4 entrées, 6 plats et 3 desserts. On veut en choisir un de chaque catégorie.
Un code est composé de 5 chiffres (compris entre 0 et 9) et 2 lettres choisies entre A, B et C.

Il y a $5 + 9 + 3 = 17$ élèves en tout. On choisit 1 élève au hasard parmi ces 17 élèves. Donc, il y a 17 possibilités.
On veut choisir une entrée, un plat et un dessert parmi les options disponibles. Il y a $4$ entrées, $6$ plats et $3$ desserts. Le nombre total de possibilités est $4 \times 6 \times 3 = 72$.
Un code est composé de $5$ chiffres (compris entre $0$ et $9$) et $2$ lettres choisies entre $A$, $B$ et $C$. Le nombre de possibilités pour les chiffres est $10^5 = 100000$ et pour les lettres est $3^2 = 9$. Donc, le nombre total de possibilités est $100000 \times 9 = 900000$.

Exercice 2 - Produits cartésiens

Déterminer les produits cartésiens suivants

On considère les ensembles $A=\{-1;0;3\}$ et $B=\{1;3\}$. Déterminer $A\times B$ et $B\times A$.
On considère les ensembles $A=\{a;b\}$ et $B=\{0;1\}$ et $C=\{x;y;z\}$. Déterminer $A\times B\times C$
Donner 2 ensembles A et B tels que $A\times B=\{(3;0),(3;1),(a;0),(a;1),(b;0),(b;1)\}$

On considère les ensembles $A=\{-1, 0, 3\}$ et $B=\{1, 3\}$. \[ A \times B = \{ (-1, 1), (-1, 3), (0, 1), (0, 3), (3, 1), (3, 3) \} \] \[ B \times A = \{ (1, -1), (1, 0), (1, 3), (3, -1), (3, 0), (3, 3) \} \]
On considère les ensembles $A=\{a, b\}$, $B=\{0, 1\}$ et $C=\{x, y, z\}$. \[ A \times B \times C = \{ (a, 0, x), (a, 0, y), (a, 0, z), (a, 1, x), (a, 1, y), (a, 1, z), (b, 0, x), (b, 0, y), (b, 0, z), (b, 1, x), (b, 1, y), (b, 1, z) \} \]
Donner 2 ensembles $A$ et $B$ tels que \[ A \times B = \{ (3, 0), (3, 1), (a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1) \} \] On peut prendre $A = \{3, a, b\}$ et $B = \{0, 1\}$.

Exercice 3 - Arrangements: dénombrer les k-uplets

Dénombrer dans les cas suivants:

Combien de mots de 4 lettres (ayant un sens ou non) peut-on former à l'aide des lettres A, B, C, D, E, F, G
Dans une course de 10 personnes, combien de podium différents peuvent se produire?
Dans une classe de terminale, 5 élèves doivent être interrogés sur les 20. Dans combien d'ordres différents le professeur peut-il les interroger?

Exercice 4 - Dénombrer les permutations

Utiliser les permutations et la notation factorielle pour dénombrer.

Combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) de six lettres distinctes en utilisant les lettres du mot ESPRIT
Parmi ces mots, combien peut-on en former qui commencent par une voyelle? par une consonne?