Les polynômes du second degré
TrinômeUn polynome du second degré (ou trinôme) est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a \neq 0$. Cette forme est la forme développée d'un polynôme du second degré.
RacineUn nombre réel $a$ est racine d'un trinôme $f$ si et seulement si $f(a)=0$
Forme Canonique$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est la forme canonique d'un trinôme. $(\alpha, \beta)$ sont les coordonnées du maximum (si $a<0$) ou du minimum (si $a>0$).
- $\alpha=\frac{-b}{2a}$
- $\beta=f(\alpha)$
Discriminant$\Delta=b^2-4ac$ est le discrimant du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$.
- Si $\Delta>0$ alors $f$ a 2 racines qui ont pour expression: $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
- Si $\Delta=0$ alors $f$ a 1 racine qui a pour expression: $\frac{-b}{2a}$
- Si $\Delta<0$ alors $f$ n'a pas de racines
Somme et produit des racinesSi un trinôme a 2 racines réelles alors la somme $S$ et le produit $P$ de ces 2 racines valent:
- $S=\frac{-b}{a}$
- $P=\frac{c}{a}$
FactorisationUn trinôme peut s'écrire sous forme factorisée s'il a 1 ou 2 racines.
- $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ si $\Delta>0$ et $f$ a 2 racines $x_1$ et $x_2$
- $f(x)=a(x-x_0)^2$ si $\Delta=0$ et $f$ a 1 racine $x_0$
SignePour étudier le signe d'un trinôme il faut connaître le signe du coefficient $a$ et le nombre de racines.
- Si $\Delta \leq 0$, le trinôme a donc 0 ou 1 racines et alors $f(x)$ est du signe de $a$
- Si $\Delta > 0$, le trinôme a donc 2 racines et on a alors les 2 cas de figures suivants:
