Produit Scalaire (Partie 1)
NormeLa norme du vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ est égale à la distance $AB$ se note $||\vec{u}||$. Si on a les coordonnées du vecteur $\vec{u}\binom{x}{y}$ alors:
$||\vec{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
Produit scalaireLe produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'écrit $\vec{u}.\vec{v}$, se lit "u scalaire v" et se calcule avec la formule:
$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u}; \vec{v})$
Formule du projeté orthogonal
Produit scalaire et coordoonnéesSi $\vec{u}\binom{x}{y}$ et $\vec{v}\binom{x'}{y'}$ alors:
$\vec{u}.\vec{v}=x\times x'+y\times y'$
Produit scalaire et normes
Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ peut se calculer avec la formule:
$\vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)$
Propriétés du Produit scalaire
$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont des vecteurs du plan, $k$ un nombre réel
- $\vec{u}.\vec{u}=\vec{u}^2=||\vec{u}||^2$
- $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$
- $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$
- $\vec{u}.(k\vec{v})=(k\vec{u}).\vec{v}=k(\vec{u}.\vec{v})$
Identités remarquables et Produit scalaire
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont des vecteurs du plan
- $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$
- $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$
- $(\vec{u}+\vec{v})(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$
