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Inégalités et intégrales

Enoncé

  1. Montrer que pour tout $t\in [0;~+\infin[$: $$1-t\leq \dfrac{1}{1+t} \leq 1-t+t^2$$
  2. En déduire que pour tout $x\in [0;~+\infin[$: $$x-\dfrac{x^2}{2}\leq ln(1+x) \leq x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$
  3. Utiliser le résultat précédent pour déterminer $$\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{ln(1+x)}{x}$$
  4. Déterminer un encadrement de $ln(2)$ et vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice.