Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$

1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to -\infin }f(x)=-\infin$
2. 1. Démontrer que, pour tout $x > 1$,
   $$1 < x < x^2 < x^3$$
   2. En déduire que, pour $x>1$,
   $$0 < f(x) < 4x^3 e^{-2x+1}$$
   3. On admet que, pour tout entier naturel n, $\lim\limits_{x \to +\infin }x^n e^{-x}=0$.
      Vérifier que, pour tout réel $x$, $$4x^3 e^{-2x+1}=\frac{e}{2}(2x)^3 e^{-2x}$$ puis montrer que:
   $$\lim\limits_{x \to +\infin }4x^3 e^{-2x+1}=0$$
   4. On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. En utilisant la question précédente, déterminer la limite de $f$ en +∞ et en donner une interprétation graphique.
Exercice 2D'après Bac La Réunion 2007

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $$\begin{cases} f(x)=\dfrac{xe^x}{e^x-1} &\text{si } x\not = 0\\ f(0)=1 \end{cases}$$

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O,~\vec{i},~\vec{j})$

1. 1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infin$
   2. Établir que, pour tout nombre réel $x$ non nul, on a $f(x)=x(1+\dfrac{1}{e^x-1})$. En déduire la limite de $f$ en $+\infin$
2. Pour la prochaine question on pourra utiliser le fait que $\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$ pour une fonction $f$ dérivable en $0$.
   1. Démontrer que $\lim\limits_{x \to 0 }\dfrac{e^x-1}{x}=1$
   2. En utilisant le fait que $f(x)=e^x\times \dfrac{x}{e^x-1}$ en déduire que $f$ est continue en $0$
3. 1. Démontrer que pour tout nombre réel $x$ on a $e^x\geq x+1$ et que l'égalité n'a lieu que pour $x=0$. On pourra étudier les variations de la fonction $\phi(x)=e^x-x-1$ sur $\R$.
   2. Montrer que $f'(x)=\dfrac{e^x g(x)}{(e^x-1)^2}$ avec $g$ une fonction à determiner.
   3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$
4. On considère les points $M(x;~f(x))$ et $M'(-x;~f(-x))$ de la courbe $C_f$ pour $x\in \R$
   1. Établir que $f(-x)=\dfrac{x}{e^x-1}$ puis déterminer le coefficient directeur de la droite $(MM')$
   2. En admettant que la fonction $f$ est dérivable en $0$ en déduire la valeur de $f'(0)$