Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2x^2-5x+1}{-x^2+4x-3}$

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$
2. Déterminer les limites au bornes de l'ensemble de définition
3. En déduire une équation de chaque asymptote éventuelle

Déterminer les limites suivantes en $+\infin$ en utilisant les théorèmes de comparaison ou des gendarmes

1. Pour tout réel $x$, $f(x)\geq 3x$
2. Pour tout réel $x$, $1-\frac{1}{x}\leq f(x)\leq 1+\frac{1}{x}$
3. Pour tout réel $x$, $f(x)=(5+cos(x))x^3$
4. Pour tout réel $x$, $f(x)=2+\frac{sin(x)}{x}$
5. Pour tout réel $x$, $f(x)=x^4+\frac{\sqrt{x^2+1}}{5x}$
6. Pour tout réel $x$, $f(x)=sin(\frac{1}{x})-\frac{1}{3x}$ quand x tend vers $0^+$

Déterminer les limites en $+\infin$ et $-\infin$

1. $f(x)=\dfrac{e^x-5x^2}{x^3+1}$
2. $f(x)=\dfrac{e^x+3x}{e^x-x^2}$
3. $f(x)=e^{-x}+3x^2-1$ en $-\infin$
4. $f(x)=e^{-2x}-e^{-x}$ en $-\infin$

Déterminer les limites des fonctions suivantes

1. $f(x)=e^{-x^2}$ quand $x\to +\infin$
2. $g(x)=cos(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}})$ quand $x\to +\infin$
3. $h(x)=e^{3x^2-5x+1}$ quand $x\to +\infin$ et $x\to -\infin$
4. $k(x)=(1-3x+x^2)^3$ quand $x\to +\infin$ et $x\to -\infin$

D'après Bac Asie 2023

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=e^{2x}-e^x+1$

1. Déterminer $\lim\limits_{x \to -\infin}g(x)$
2. Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infin}g(x)=+\infin$
3. Montrer que $g'(x)=e^x (2e^x-1)$ pour tout $x\in \R$
4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$
   Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $+\infin$ et $-\infin$
5. En déduire le signe de $g$ sur $\R$
6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X=e^x$