Les exercices

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Exercice 1 - Limites et fonction partie entière

On considère la fonction partie entière y=E(x)y=E(x). E(x)E(x) est le plus entier relatif inférieur ou égal à xx. Par exemple, E(2,7)=2E(2,7)=2, E(8)=8E(8)=8 ou E(4,1)=5E(-4,1)=-5.
On a donc xR\forall x\in \R, E(x)x<E(x)+1E(x) \leq x < E(x)+1.
Soit ff la fonction définie par f(x)=xE(1x)f(x)=xE(\frac{1}{x})

  1. Calculer les limites de ff en ++\infin et -\infin
  2. Montrer que xR\forall x\in \R on a x1<E(x)xx-1 < E(x) \leq x
  3. Montrer que pour tout x>0x>0, 1x<f(x)11-x < f(x) \leq 1 et en déduire limx0+f(x)\lim\limits_{x \to 0^+ }f(x)
  4. Montrer que pour tout x<0x<0, 1f(x)<1x1\leq f(x)<1-x et en déduire limx0f(x)\lim\limits_{x \to 0^- }f(x)
  5. Conclure

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Exercice 2 - Étude d'une asymptote oblique

Soit ff la fonction définie par f(x)=x25x+1xf(x)=\dfrac{x^2-5x+1}{x} de courbe représentative CfC_f.

  1. Déterminer l'ensemble de définition de ff et calculer la limite de ff en 00. Que peut-on conclure sur CfC_f
  2. Déterminer les limites de ff en ++\infin et -\infin
  3. Soit gg la fonction définie sur R\R^* par g(x)=f(x)(x5)g(x)=f(x)-(x-5)

  4. Montrer que limx+g(x)=limxg(x)=0\lim\limits_{x \to +\infin }g(x)=\lim\limits_{x \to -\infin }g(x)=0
  5. On dit que la droite d'équation y=x5y=x-5 est une asymptote oblique à CfC_f

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