On considère la fonction partie entière $y=E(x)$. $E(x)$ est le plus entier relatif inférieur ou égal à $x$. Par exemple, $E(2,7)=2$, $E(8)=8$ ou $E(-4,1)=-5$.
On a donc $\forall x\in \R$, $E(x) \leq x < E(x)+1$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=xE(\frac{1}{x})$

1. Calculer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$
2. Montrer que $\forall x\in \R$ on a $x-1 < E(x) \leq x$
3. Montrer que pour tout $x>0$, $1-x < f(x) \leq 1$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^+ }f(x)$
4. Montrer que pour tout $x<0$, $1\leq f(x)<1-x$ et en déduire $\lim\limits_{x \to 0^- }f(x)$
5. Conclure

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x^2-5x+1}{x}$ de courbe représentative $C_f$.

1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et calculer la limite de $f$ en $0$. Que peut-on conclure sur $C_f$
2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infin$ et $-\infin$

Soit $g$ la fonction définie sur $\R^*$ par $g(x)=f(x)-(x-5)$

3. Montrer que $\lim\limits_{x \to +\infin }g(x)=\lim\limits_{x \to -\infin }g(x)=0$

On dit que la droite d'équation $y=x-5$ est une asymptote oblique à $C_f$