Contrôles d'entraînement

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Contrôle d'entraînement sur la géométrie dans l'espace (Orthogonalité) - 1

Exercice 1D'après Bac Polynésie 2022

L'espace est rapporté au repère orthonormal où l'on considère:

  1. les points A(2;1;0)A(2; -1; 0), B(1;0;3)B(1; 0; -3), C(6;6;1)C(6; 6; 1) et E(1;2;4)E(1; 2; 4);
  2. le plan P d'équation cartésienne 2xyz+4=02x-y-z+4=0.
    1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
    2. Calculer le produit scalaire BA.BC\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC} puis les longueurs BABA et BCBC.
    3. En déduire la mesure en degrés de l'angle ABC^\widehat{\text{ABC}} arrondie au degré.
    1. Démontrer que le plan P\mathcal{P} est parallèle au plan ABC.
    2. En déduire une équation cartésienne du plan ABCABC.
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D\mathcal{D} orthogonale au plan ABCABC et passant par le point EE.
    4. Démontrer que le projeté orthogonal HH du point EE sur le plan ABCABC a pour coordonnées (4 ; 12 ; 52)\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right).
  1. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par V=13Bh\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}hB\mathcal{B} désigne l'aire d'une base et hh la hauteur de la pyramide associée à cette base. Calculer l'aire du triangle ABCABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCEABCE est égal à 16,516,5 unités de volume.
Exercice 2D'après Bac Métropole et La Réunion 2023

L'espace est rapporté au repère orthonormé (O; i; j; k)(O;~\vec{i};~\vec{j};~\vec{k})

On considère:

  1. les points A(1 ; 2 ; 3)A(-1~;~-2~;~3), B(1 ; 2 ; 7)B(1~;~-2~;~7) et C(1 ; 0 ; 2)C(1~;~0~;~2);
  2. la droite Δ\Delta de représentation paramétrique : {x=1ty=2z=4+3t\begin{cases}x=1-t\\ y=2\\ z=-4+3t\end{cases}, où tRt \in \R;
  3. le plan P\mathcal{P} d'équation cartésienne: 3x+2y+z4=03 x+2 y+z-4=0;
  4. le plan Q\mathcal{Q} d'équation cartésienne: 6x4y2z+7=0-6 x-4 y-2 z+7=0.
  1. Lequel des points suivants appartient au plan P\mathcal{P}?
    1. R(1 ; 3 ; 1)R(1~;~-3~;~1)
    2. S(1 ; 2 ; 1)S(1~;~2~;~-1)
    3. T(1 ; 0 ; 1)T(1~;~0~;~1)
    4. U(2 ; 1 ; 1)U(2~;~-1~;~1)
  2. Le triangle ABCABC est:
    1. équilatéral
    2. rectangle isocèle
    3. isocèle non rectangle
    4. rectangle non isocèle
  3. La droite Δ\Delta est:
    1. orthogonale au plan P\mathcal{P}
    2. sécante au plan P\mathcal{P}
    3. incluse dans le plan P\mathcal{P}
    4. strictement parallèle au plan P\mathcal{P}
  4. On donne le produit scalaire BA.BC=20\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=20. Une mesure au degré près de l'angle ABC^\widehat{ABC} est:
    1. 34˚
    2. 120˚
    3. 90˚
  5. L'intersection des plans P\mathcal{P} et Q\mathcal{Q} est:
    1. un plan
    2. l'ensemble vide
    3. une droite
    4. réduite à un point

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