L'espace est rapporté au repère orthonormal où l'on considère:

1. les points $A(2; -1; 0)$, $B(1; 0; -3)$, $C(6; 6; 1)$ et $E(1; 2; 4)$;
2. le plan P d'équation cartésienne $2x-y-z+4=0$.

1. 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
   2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
   3. En déduire la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ arrondie au degré.
2. 1. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan ABC.
   2. En déduire une équation cartésienne du plan $ABC$.
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $ABC$ et passant par le point $E$.
   4. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $ABC$ a pour coordonnées $\left(4~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
3. On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\mathcal{V} = \dfrac13 \mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ désigne l'aire d'une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base. Calculer l'aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $(O;~\vec{i};~\vec{j};~\vec{k})$

On considère:

1. les points $A(-1~;~-2~;~3)$, $B(1~;~-2~;~7)$ et $C(1~;~0~;~2)$;
2. la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases}x=1-t\\ y=2\\ z=-4+3t\end{cases}$, où $t \in \R$;
3. le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne: $3 x+2 y+z-4=0$;
4. le plan $\mathcal{Q}$ d'équation cartésienne: $-6 x-4 y-2 z+7=0$.

1. Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$?
1. $R(1~;~-3~;~1)$
2. $S(1~;~2~;~-1)$
3. $T(1~;~0~;~1)$
4. $U(2~;~-1~;~1)$
2. Le triangle $ABC$ est:
1. équilatéral
2. rectangle isocèle
3. isocèle non rectangle
4. rectangle non isocèle
3. La droite $\Delta$ est:
1. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
2. sécante au plan $\mathcal{P}$
3. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
4. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$
4. On donne le produit scalaire $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=20$. Une mesure au degré près de l'angle $\widehat{ABC}$ est:
1. 34˚
2. 120˚
3. 90˚
4. 0˚
5. L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est:
1. un plan
2. l'ensemble vide
3. une droite
4. réduite à un point