Les exercices

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Exercice 1 - Intersection de plans dans l'espace et droite paramétrique

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O,i,j,k)(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}). On considère les points A(1;2;1)A(-1;2;1), B(1;6;1)B(1;-6;-1) et C(2;2;2)C(2;2;2)

  1. Vérifier que les points AA, BB et CC définissent un plan.
  2. Montrer que le vecteur n(113)\vec{n} \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ -3 \end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC)(ABC).
  4. Soit PP le plan d'équation: xy+z4=0x-y+z-4=0

  5. Montrer que les plans (ABC)(ABC) et PP sont sécants.
  6. Soit DD la droite d'intersection des plans PP et (ABC)(ABC). Déterminer une représentation paramétrique de la droite DD.

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Exercice 2 - Distance avec un paramètre

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 ci-dessous. Dans tout l'exercice l'espace est rapporté au repère orhonormé (D;DA;DC;DH)(D; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC}; \overrightarrow{DH}).

  1. Soit KK le point tel que KD+2KF=0\overrightarrow{KD}+2\overrightarrow{KF}=\vec{0}. Montrer que les coordonnées de KK sont (23 ; 23;23)(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}).
  2. Montrer que les droites (EK)(EK) et (DF)(DF) sont orthogonales.
  3. Calculer la distance EKEK.
  4. Soit MM un point du segment [HG][HG]. On note m=HMm=HM avec m[0;1]m\in [0;1].

  5. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (MFD)(MFD). est (1+m)x+ymz=0(-1+m)x+y-mz=0.
  6. Montrer que pour tout réel m[0;1]m\in [0;1] la distance dmd_m du point EE au plan (MFD)(MFD) est donnée par: dm=12m22m+2d_m = \dfrac{1}{\sqrt{2m^2-2m+2}}
  7. Déterminer la position de MM pour laquelle la distance dmd_m est maximale.
  8. Montrer que la distance maximale vaut dm=d(E;(MFD))=63=EKd_{m}=d(E; (MFD)) = \dfrac{\sqrt{6}}{3} = EK.
  9. Après avoir rappelé pourquoi le point KK appartient à la droite (FD)(FD), montrer que lorsque la distance dmd_m est maximale, KK est le projeté orthogonal de EE sur le plan MFDMFD.

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Exercice 3 - Centre de gravité dans un tétraèdre

Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelée médiane. Ainsi, le segment [AA][AA'] est une médiane du tétraèdre ABCDABCD ci-dessous.

PARTIE A

ABCDABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. AA' est le centre de gravité du triangle BCDBCD, c'est à dire le point d'intersection des médianes issues des sommets BB, CC, DD.

  1. En utilisant le point II, milieu de [BD][BD], montrer que AA.BD=0\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BD}=0
  2. En utilisant le point JJ, milieu de [BC][BC], montrer que AA.BC=0\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0
  3. En déduire que la droite (AA)(AA') est perpendiculaire au plan (BCD)(BCD).

On a prouvé la propriété selon laquelle dans un tétraèdre régulier la médiane issue d'un sommet est orthogonale à la face opposée.

PARTIE B

On munit l'espace d'un repère orthonormal (O, i, j, k)(O,~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}). On considère les points P(1 ; 2 ; 3)P(1~;~2~;~3), Q(4 ; 2 ; 1)Q(4~;~2~;~- 1) et R(2 ; 3 ; 0)R(-2~;~3~;~0).

  1. Montrer que le tétraèdre OPQROPQR n'est pas régulier.
  2. On rappelle que le centrer de gravité GG d'un triangle ABCABC quelconque vérifie la relation vectorielle: GA+GB+GC=0\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}. Calculer les coordonnées de PP', centre de gravité du triangle OQROQR.
  3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR)(OQR) est: 3x+2y+16z=0.3x+2y+16z=0.
  4. La propriété de la partie A est-elle vérifiée?

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