Les exercices
L'espace est muni d'un repère orthonormé . On considère les points , et
- Vérifier que les points , et définissent un plan.
- Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan .
- Déterminer une équation cartésienne du plan .
- Montrer que les plans et sont sécants.
- Soit la droite d'intersection des plans et . Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
Soit le plan d'équation:
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1 ci-dessous. Dans tout l'exercice l'espace est rapporté au repère orhonormé .

- Soit le point tel que . Montrer que les coordonnées de sont .
- Montrer que les droites et sont orthogonales.
- Calculer la distance .
- Montrer qu'une équation cartésienne du plan . est .
- Montrer que pour tout réel la distance du point au plan est donnée par:
- Déterminer la position de pour laquelle la distance est maximale.
- Montrer que la distance maximale vaut .
- Après avoir rappelé pourquoi le point appartient à la droite , montrer que lorsque la distance est maximale, est le projeté orthogonal de sur le plan .
Soit un point du segment . On note avec .
Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelée médiane. Ainsi, le segment est une médiane du tétraèdre ci-dessous.
PARTIE A
est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. est le centre de gravité du triangle , c'est à dire le point d'intersection des médianes issues des sommets , , .

- En utilisant le point , milieu de , montrer que
- En utilisant le point , milieu de , montrer que
- En déduire que la droite est perpendiculaire au plan .
On a prouvé la propriété selon laquelle dans un tétraèdre régulier la médiane issue d'un sommet est orthogonale à la face opposée.
PARTIE B
On munit l'espace d'un repère orthonormal . On considère les points , et .
- Montrer que le tétraèdre n'est pas régulier.
- On rappelle que le centrer de gravité d'un triangle quelconque vérifie la relation vectorielle: . Calculer les coordonnées de , centre de gravité du triangle .
- Vérifier qu'une équation cartésienne du plan est:
- La propriété de la partie A est-elle vérifiée?