Les exercices

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Exercice 1 - Calcul de dérivées avec le logarithme

Calculer les dérivées des fonctions suivantes après avoir déterminé leur intervalle de définition et dérivabilité.

  1. f(x)=3(ln(x))2f(x)=3(ln(x))^2
  2. g(x)=5(x+1)2ln(x)g(x)=5(x+1)^2ln(x)
  3. h(x)=ln(x25x6)h(x)=ln(x^2-5x-6)
  4. j(x)=ln(1+e10x)j(x)=ln(1+e^{-10x})
  5. k(x)=5xln(x)x2+1k(x)=\dfrac{5x-ln(x)}{x^2+1}

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Exercice 2 - Résoudre des equations logarithmiques avec changement de variable

Résoudre les équations suivantes après avoir effectué un changement de variable.

  1. ln(x)2+ln(x)12=0ln(x)^2+ln(x)-12=0
  2. 3ex+ex+2=0-3e^x+e^{-x}+2=0
  3. 4ln(x)2ln(1x)3=04ln(x)^2-ln(\dfrac{1}{x})-3=0
  4. 2e2x11ex+12=02e^{2x}-11e^x+12=0

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Exercice 3 - Suites et logarithmes

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0=1, et pour tout entier naturel nn, un+1=e×unu_{n+1}=e\times \sqrt{u_n}

  1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nn, 1une21\leq u_n \leq e^2.
  2. Démontrer que (un)(u_n) est croissante et en déduire qu'elle est convergente.
  3. Pour tout entier naturel nn, on pose vn=ln(un)2v_n=ln(u_n)-2
    1. Démontrer que la suite (vn)(v_n) est géométrique de raison 12\frac{1}{2}
    2. Démontrer que pour tout entier naturel nn, vn=12n1v_n=-\frac{1}{2^{n-1}}
    3. En déduire l'expression de unu_n en fonction de nn puis la limite de la suite (un)(u_n).

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Exercice 4 - Résoudre des equations plus complexes avec le logarithme

Résoudre dans R\R les équations ou inéquations suivantes.

  1. ln(6x2)+ln(2x1)=ln(x)ln(6x-2)+ln(2x-1)=ln(x)
  2. ln(x24)ln(2)+ln(x)ln(x^2-4)\leq ln(2)+ln(x)
  3. ln(x1)ln(x+2)=ln(4)ln(x-1)-ln(x+2)=ln(4)

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Exercice 5 - Étude d'une fonction avec logarithme

On considère la fonction ff définie par f(x)=ln(x)xf(x)=\frac{ln(x)}{x}

  1. Déterminer l'ensemble de définition Df\cal{D}_f de ff.
  2. Démontrer que la courbe admet une asymptote horizontale.
  3. Déterminer la limite de ff en 00.
  4. Étudier les variation de ff sur Df\cal{D}_f

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