Vocabulaire de la logique et types de raisonnement
PropositionUne affirmation qui peut être vraie ou fausse.
Négation d'une propositionSoit P une proposition. Sa négation notée "non P" est vraie quand P est fausse et fausse quand P est vraie.
exemple:
La négation de "$x^2\leq 4$" est "$x^2>4$"
Et/OuSoit A et B deux propositions
- La proposition "A et B" est vraie quand les 2 propositions A et B sont vraies et fausse quand au moins 1 des 2 est fausse.
- La proposition "A ou B" est vraie quand au moins 1 des 2 propositions est vraie et fausse quand les 2 sont fausses.
ImplicationSoit A et B deux propositions
A$\implies$B se lit "A implique B". Cette implication est vraie dans la situation suivante: on suppose que A est vraie et on réussit à prouver que B est vraie.
RéciproqueSoit A et B deux propositions
La réciproque de l'implication: A$\implies$B est B$\implies$A.
ContraposéeSoit A et B deux propositions
La contraposée de l'implication: A$\implies$B est non B$\implies$non A.
ÉquivalenceSoit A et B deux propositions
L'équivalence A$\iff$B est vérifiée lorsque les 2 implications A$\implies$B et B$\implies$A sont vraies
Quantificateurs
- Universel: "pour tout, quel que soit.." est noté aussi $\forall$
- D'existence: "il existe.." est noté aussi $\exist$
Types de raisonnement
- Disjonction de cas: on sépare les nonbe réels en positif/négatifs ou les nombres entiers en pairs/impairs
- Contraposée: on démontre non B$\implies$non A plutôt que A$\implies$B
- Absurde: pour prouver que A$\implies$B, on suppose que A est vraie et que B est fausse et on essaie d'aboutir à une contradiction.
- Contre-exemple: on trouve un cas de figure qui ne marche pas
Démonstration par récurrenceLes étapes
- Propriété: on énonce la propriété P(n)
- Initialisation: on démontre que P(0) est vraie
- Hérédité: on suppose que P(n) est vraie pour un certain entier n et on prouve P(n+1)
- Conclusion: si l'Initialisation et l'Hérédité sont correctes, on peut conclure par l'axiome de récurrence que P(n) est vraie pour tout entier n