Continuité en un point$f$ est continue en $a \in \R$ si seulement si $\lim\limits_{x \to a } f(x)=f(a)$
Continuité sur un intervalle$f$ est continue sur un intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point de $I$
Continuité des fonctions usuelles
- Les fonctions polynômes sont continues sur $\R$
- La fonction valeur absolue est continue sur $\R$
- La fonction inverse est continue sur $\R^{*}$
- La fonction racine carrée est continue sur $\R^{+}$
- La fonction exponentielle est continue sur $\R$
Opérations et continuité
- La somme de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
- Le produit de fonctions continues sur $I$ est continue sur $I$
- Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$ et si $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors \dfrac{f}{g} est continue sur $I$
Continuité et dérivabilitéSoit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un nombre réel de $I$
- Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$
- Si $f$ est dérivable sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$
En d'autres termes, $f$ dérivable $\implies$ $f$ continue
Théorème des valeurs intermédiairesSi $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$
l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$
Autrement dit tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet au moins un antécédent par $f$ dans $[a;b]$
Théorème des valeurs intermédiaires - Fonctions monotonesSi $f$ est une fonction continue et monotone sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout nombre réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$
l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $[a;b]$
Autrement dit tout nombre de l'intervalle $[f(a);f(b)]$ admet exactement un antécédent par $f$ dans $[a;b]$
Suites et continuitéSi $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ convergeant vers $\alpha \in \R$ alors $\lim\limits_{n \to +\infin } f(u_n)=f(\alpha)$
Théorème du point fixeSi $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ et $(u_n)$ une suite d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier $n$.
Si $\lim\limits_{n \to +\infin } u_n=l$ alors $l$ est solution de l'équation $f(x)=x$