Terminale Spécialité

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
— la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
— si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
— si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :

• $R$ l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;
• $E$ l'évènement « le joueur tire une épée » ;
• $\overline{R}$ et $\overline{E}$ et les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.

1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Un joueur remporte 30 défis. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geq k) \geq 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
   Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à 0,95. Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les quatre questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $ ( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) $.

1. On considère les points $ A(1; 0; 3) $ et $ B(4; 1; 0) $.
   Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :
   1. $ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 1 \\ z = -3 + 3t \end{array} \right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} $
   2. $ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 4t \\ y = t \\ z = 3 \end{array} \right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} $
   3. $ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t \\ y = t \\ z = 3 - 3t \end{array} \right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} $
   4. $ \left\{ \begin{array}{l} x = 4 + t \\ y = 1 \\ z = 3 - 3t \end{array} \right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} $
2. On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 4t \\ y = 6t \\ z = 4 - 2t \end{array} \right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} $$
   Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?
   1. $M(7;~6;~6)$
   2. $N(3;~6;~4)$
   3. $P(4;~6;~-2)$
   4. $R(-3;~-9;~7)$
3. On considère la droite $(d')$ de représentation paramétrique $$ \left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 3k \\ y = -1 - 2k \\ z = 1 + k \end{array} \right. \quad \text{avec } k \in \mathbb{R} $$
   Les droites $(d)$ et $(d')$ sont :
   1. sécantes
   2. non coplanaires
   3. parallèles
   4. confondues
4. On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2;~1;~0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$.
   Une équation du plan $(P)$ est :
   1. $2x + 3y - z - 7 = 0$
   2. $-x + y - 4z + 1 = 0$
   3. $4x + 6y - 2z + 9 = 0$
   4. $2x + y + 1 = 0$

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$f(x) = x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $ f $, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $A(1;~-1)$.
Cette tangente passe également par le point $B(0;~-4)$.

1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $ f $ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

1. Déterminer, en justifiant, la limite de $ f $ en $+\infty$, puis sa limite en 0.
2. On admet que la fonction $ f $ est deux fois dérivable sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   1. Déterminer $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Montrer que pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, $$f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$$
3. 1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Étudier les variations de la fonction $ f' $, puis le signe de $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
      En déduire le sens de variation de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
4. 1. Montrer que l’équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Donner la valeur arrondie au centième de $ \alpha $ et montrer que $ \alpha $ vérifie : $$\alpha^2 = \exp\left( \frac{1}{\alpha^2} \right)$$

Pour tout entier naturel $ n $, on considère les intégrales suivantes : $$I_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x)\,dx, \quad J_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos(x)\,dx.$$

1. Calculer $ I_0 $.
2. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_n \geq 0 $.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_{n+1} - I_n \leq 0 $.
   3. Déduire des deux questions précédentes que la suite $ (I_n) $ converge.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ I_n \leq \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx. $$
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx = \frac{1 - e^{-n\pi}}{n}. $$
   3. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $ (I_n) $.
4. 1. En intégrant par parties l’intégrale $ I_n $ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $ : $$ I_n = 1 + e^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et} \quad I_n = \frac{1}{n}J_n. $$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ I_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{n^2 + 1}. $$
5. On souhaite obtenir le rang $ n $ à partir duquel la suite $ (I_n) $ devient inférieure à 0,1.
   Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

Les données publiées le 1^er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• 22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• 8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
• 1,27 % des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie I

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :

• $N$ l’évènement « le véhicule est neuf » ;
• $R$ l’évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
• $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $ N $ et $ R $.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,0283.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.

Partie II

Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle $ X $ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu’exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
3. Déterminer la probabilité $ p(X \geq 325) $ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie III

On choisit désormais $ n $ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $ n $ désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces $ n $ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l’expression en fonction de $ n $ de la probabilité $ p_n $ que tous ces véhicules soient d’occasion.
2. On note $ q_n $ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $ n $ telle que $ q_n \geq 0,9999 $.

On considère le pavé droit ABCDEFGH tel que $ AB = 3 $ et $ AD = AE = 1 $ représenté ci-dessous.

On considère le point I du segment $ [AB] $ tel que $ \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AI} $ et on appelle M le milieu du segment $ [CD] $.
On se place dans le repère orthonormé $ ( A ; \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} ) $.

1. Sans justifier, donner les coordonnées des points F, H et M.
2. 1. Montrer que le vecteur $ \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} $ est un vecteur normal au plan (HMF).
   2. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (HMF) est : $$ 2x + 6y + 3z - 9 = 0. $$
   3. Le plan $ \mathcal{P} $ dont une équation cartésienne est $ 5x + 15y - 3z + 7 = 0 $ est-il parallèle au plan (HMF) ? Justifier la réponse.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (DG).
4. On appelle N le point d’intersection de la droite (DG) avec le plan (HMF). Déterminer les coordonnées du point N.
5. Le point R de coordonnées $ \left( 3; \frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right) $ est-il le projeté orthogonal du point G sur le plan (HMF) ? Justifier la réponse.

On considère la fonction $ g $ définie sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ par : $$ g(x) = 2x - x^2. $$

1. Montrer que la fonction $ g $ est strictement croissante sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ et préciser les valeurs de $ g(0) $ et de $ g(1) $.
2. On considère la suite $ (u_n) $ définie par $$ \begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = g(u_n) \end{cases} $$ pour tout entier naturel $ n $.
   1. Calculer $ u_1 $ et $ u_2 $.
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ 0 < u_n < u_{n+1} < 1 $.
   3. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
   4. Déterminer la limite $ \ell $ de la suite $ (u_n) $.
3. On considère la suite $ (v_n) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_n = \ln(1 - u_n) $.
   1. Démontrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
   2. En déduire une expression de $ v_n $ en fonction de $ n $.
   3. En déduire une expression de $ u_n $ en fonction de $ n $ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
4. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $ n $ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

Soit $ a $ un réel strictement positif.
On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$f(x) = a\ln(x).$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $ x_0 $ un réel strictement supérieur à 1.

1. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $C_f$ et de l’axe des abscisses.
2. Vérifier que la fonction $ F $ définie par $ F(x) = a[x\ln(x) - x] $ est une primitive de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
3. En déduire l’aire du domaine bleuté en fonction de $ a $ et de $ x_0 $.


On note $ T $ la tangente à la courbe $C_f$ au point $ M $ d’abscisse $ x_0 $.
On appelle $ A $ le point d’intersection de la tangente $ T $ avec l’axe des ordonnées et $ B $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l’axe des ordonnées.


4. Démontrer que la longueur $ AB $ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $ x_0 $) que l’on déterminera.

   Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.

Partie A

On considère une fonction $ f $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $ T $ est tangente à la courbe $C_f$ au point $ A $ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 5] $.
2. Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $ A $ ?
3. La dérivée $ f' $ et la dérivée seconde $ f'' $ de la fonction $ f $ sont représentées par les courbes ci-dessous.
   Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
   Ce choix sera justifié.
1. 
2. 

4. 1. La courbe $C_3 $ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $ [0 ; +\infty[ $ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

   2. 

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $ f $, définie et deux fois dérivable sur $ [0 ; +\infty[ $, est définie par : $$ f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}. $$

On notera respectivement $ f' $ et $ f'' $ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $ f $.

1. Étude de la fonction $ f $
   1. Montrer que $ f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1} $.
   2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $.
   3. Étudier la convexité de la fonction $ f $ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $.
2. On considère une fonction $ F $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $ par $ F(x) = (ax + b)e^{-x+1} $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs des réels $ a $ et $ b $ telles que la fonction $ F $ soit une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
   2. On admet que $ F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1} $ est une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
      En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près, de l'intégrale $$ I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx. $$

3. 1. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
      Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [\frac{3}{2} ; 8] $.
      L'unité de longueur est le mètre.

   2. 
   1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $ D $.
   2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$ ^2 $, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

1. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $ ( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) $ d’unité 1 cm, on considère les points :

   $ A(3 ; -1 ; 1) $, $ B(4 ; -1 ; 0) $, $ C(0 ; 3 ; 2) $, $ D(4 ; 3 ; -2) $ et $ S(2 ; 1 ; 4) $.

   Dans cet exercice on souhaite montrer que $ SABDC $ est une pyramide à base $ ABDC $ trapézoïdale de sommet $ S $, afin de calculer son volume.

2. 

1. Montrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.
2. 1. Montrer que les points $ A $, $ B $, $ C $ et $ D $ sont coplanaires.
   2. Montrer que le quadrilatère $ ABDC $ est un trapèze de bases $ [AB] $ et $ [CD] $.
      On rappelle qu’un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.
3. 1. Démontrer que le vecteur $ \overrightarrow{n} (2 ; 1 ; 2) $ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
   2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
   3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ \Delta $ passant par le point $ S $ et orthogonale au plan $(ABC)$.
   4. On note $ I $ le point d’intersection de la droite $ \Delta $ et du plan $(ABC)$.
      Montrer que le point $ I $ a pour coordonnées $ \Big( \dfrac{2}{3} ;~\dfrac{1}{3} ;~\dfrac{8}{3} \Big) $, puis montrer que $ SI = 2 $ cm.
4. 1. Vérifier que le projeté orthogonal $ H $ du point $ B $ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $ H(3 ; 3 ; -1) $ et montrer que $ HB = 3 \sqrt{2} $ cm.
   2. Calculer la valeur exacte de l’aire du trapèze $ ABDC $.
      On rappelle que l’aire d’un trapèze est donnée par la formule$ $$\mathcal{A} = \dfrac{b + B}{2} \times h $$ où $ b $ et $ B $ sont les longueurs des bases du trapèze et $ h $ sa hauteur.
5. Déterminer le volume de la pyramide $ SABDC $.
   On rappelle que le volume $ V $ d’une pyramide est donné par la formule $$ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} $$.

Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu’au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

Partie A

1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
   On note $ I $ l’évènement : « l’adulte a déjà été infecté par la COVID 19 ».
   Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?
2. On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
   On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On appelle $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
   1. Justifiez que $ X $ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
   2. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
   3. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon ?
      On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.
   4. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2 personnes infectées dans l’échantillon ?
      On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.
   5. Déterminer le plus petit entier $ n $ tel que $ P(X \leq n) > 0,9 $.
      Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l’infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.

Deux paramètres permettent de caractériser ce test : sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d’un test est la probabilité qu’il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (Il s’agit donc d’un vrai positif).
La spécificité d’un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n’a pas été infectée par la maladie. (Il s’agit donc d’un vrai négatif).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :

• Sa sensibilité est de 0,8.
• Sa spécificité est de 0,99.

On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $ T $ l’évènement « le test réalisé est positif ».

1. Compléter l’arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l’énoncé :

2. Montrer que $ p(T) = 0,05503 $.
3. Quelle est la probabilité qu’un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
   On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.

Partie C

On considère un groupe d’une population d’un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,8 et de spécificité 0,99.
Dans ce groupe la proportion d’individus ayant un test positif est de 29,44 %.
On choisit au hasard un individu de ce groupe ; quelle est la probabilité qu’il ait été infecté ?

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
2. On considère une suite $ (u_n) $ définie sur $ \mathbb{N} $ telle que, pour tout entier $ n $, on a $$ u_n \leq \frac{-9^n + 3^n}{7^n}. $$
   Affirmation 2 : $ \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty $.
3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

               def terme(N) :
                   U = 1
                   for i in range(N) :
                       U = U + i
                   return U
               

   Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7.
4. Lors d’un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :
   • Prix A : il reçoit 1 000 euros par jour pendant 15 jours ;
   • Prix B : il reçoit 1 euro le 1^er jour, 2 euros le 2^e jour, 4 euros le 3^e jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.
   Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
5. On considère la suite $ (v_n) $ définie pour tout entier $ n \geq 1 $ par $$ v_n = \int_{1}^{n} \ln x \, dx. $$
   Affirmation 5 : La suite $ (v_n) $ est croissante.

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = x^2 - x\ln(x). $$
On admet que $ f $ est deux fois dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On note $ f' $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ et $ f'' $ la fonction dérivée de la fonction $ f' $.

Partie A : Étude de la fonction $ f $

1. Déterminer les limites de la fonction $ f $ en 0 et en $ +\infty $.
2. Pour tout réel $ x $ strictement positif, calculer $ f'(x) $.
3. Montrer que pour tout réel $ x $ strictement positif : $$ f''(x) = \frac{2x - 1}{x}. $$
4. Étudier les variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   Les limites de la fonction $ f' $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $ f(x) = x $

On considère dans cette partie la fonction $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ g(x) = x - \ln(x). $$
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $, on note $ g' $ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $ g'(x) $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ g $.
   Les limites de la fonction $ g $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $ g(x) = 1 $.
   Résoudre, sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, l’équation $ f(x) = x $.

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = \frac{1}{2} $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n). $$

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $$ \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1. $$
2. Justifier que la suite $ (u_n) $ converge.
   On appelle $ \ell $ la limite de la suite $ (u_n) $ et on admet que $ \ell $ vérifie l’égalité $ f(\ell) = \ell $.
3. Déterminer la valeur de $ \ell $.

Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et sintéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, dprès elle, la probabilité qulle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.

Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on définit les évènements suivants :

• $ G_n $ : « Léa gagne la $ n $-ième partie de la journée »;
• $ D_n $ : « Léa perd la $ n $-ième partie de la journée ».

Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on note $ g_n $ la probabilité de lévènement $ G_n $.
On a donc $ g_1 = 0,5 $.

1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $ p_{G_1}(D_2) $ ?
2. Recopier et compléter lrbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
   
3. Calculer $ g_2 $.
4. Soit $ n $ un entier naturel non nul.
   1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $ n $-ième et $ (n+1) $-ième parties de la journée.
      
   2. Justifier que pour tout entier naturel $ n $ non nul, $$ g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2. $$
5. Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on pose $ v_n = g_n - 0,4 $.
   1. Montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique.
      On précisera son premier terme et sa raison.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ non nul : $$ g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4. $$
6. Étudier les variations de la suite $ (g_n) $.
7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $ (g_n) $.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de lénoncé.
8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $ n $ tel que $ g_n - 0,4 \leq 0,001 $.
9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qulle renvoie le plus petit rang $ n $ à partir duquel les termes de la suite $ (g_n) $ sont tous inférieurs ou égaux à $ 0,4 + e $, où $ e $ est un nombre réel strictement positif.

   
                         def seuil(e):
                           g=0.5
                           n=1
                           while ... :
                             g = 0.5g+0.2
                             n = ...
                           return(n)
                     

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soit $ (u_n) $ une suite définie pour tout entier naturel $ n $ et vérifiant la relation suivante :

   $$ \dfrac{1}{2} < u_n \leq \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1} \text{ pour tout entier naturel } n $$.

   Affirmation 1 : $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2} $.

2. Soit $ h $ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 4]$. La représentation graphique $ \mathcal{C}_{h'} $ de sa fonction dérivée $ h' $ est donnée ci-dessous.

   Affirmation 2 : La fonction $ h $ est convexe sur $[-1 ; 3]$.



3. Le code d’un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).

   Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.

4. On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ par $ f(x) = x \ln x $.

   Affirmation 4 : La fonction $ f $ est une solution sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ de l’équation différentielle

   $$ x y' - y = x $$.

1. Dans un repère orthonormé $ ( \left( O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} , \overrightarrow{k} \right) ) $ de l'espace, on considère le plan $ (P) $ d'équation :

   $$ (P) : \quad 2x + 2y - 3z + 1 = 0. $$

   On considère les trois points A, B et C de coordonnées :

   • $ A(1 ; 0 ; 1) $
   • $ B(2 ; -1 ; 1) $
   • et $ C(-4 ; -6 ; 5) $

   Le but de cet exercice est d’étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

2. 

Partie A

1. Pour chacun des points A, B et C, vérifier s’il appartient au plan $ (P) $.
2. Montrer que le point $ C'(0 ; -2 ; -1) $ est le projeté orthogonal du point C sur le plan $ (P) $.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $ (AB) $.
4. On admet l’existence d’un unique point H vérifiant les deux conditions $$ \begin{cases} H \in (AB) \\ (AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales.} \end{cases} $$

   Déterminer les coordonnées du point H.

Partie B

On admet que les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{HC} $ sont :

$$ \overrightarrow{HC} \begin{pmatrix} -\dfrac{11}{2} \\ -\dfrac{11}{2} \\ 4 \end{pmatrix} $$

1. Calculer la valeur exacte de $ \| \overrightarrow{HC} \| $.
2. Soit S l’aire du triangle ABC. Déterminer la valeur exacte de S.

Partie C

On admet que $ HC' = \dfrac{\sqrt{17}}{2} $.

1. Soit $ \alpha = \widehat{CHC'} $. Déterminer la valeur de $ \cos(\alpha) $.
2. 1. Montrer que les droites $ (C'H) $ et $ (AB) $ sont perpendiculaires.
   2. Calculer S’ l’aire du triangle ABC’, on donnera la valeur exacte.
   3. Donner une relation entre S, S’ et $ \cos(\alpha) $.

Partie A

On définit la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0; 1] $ par : $$f(x) = \frac{0,96x}{0,93x + 0,03}.$$

1. Démontrer que, pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; 1] $, $$f'(x) = \frac{0,0288}{(0,93x + 0,03)^2}.$$
2. Déterminer le sens de variation de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant 1 000 sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.
On appelle $ x $ le réel compris entre 0 et 1 qui désigne la proportion de sportifs dopés.
Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

1. la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à 0,96 ;
2. la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à 0,03.

On note :

1. $ D $ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
2. $ T $ l’évènement : « le test est positif ».

1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

2. Déterminer, en fonction de $ x $, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
3. Démontrer que la probabilité de l’évènement $ T $ est égale à $ 0,93x + 0,03 $.
4. Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a 50 sportifs dopés parmi les 1 000 testés.
   La fonction $ f $ désigne la fonction définie à la partie A.
   Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $ f(0,05) $. En donner une valeur arrondie au centième.
5. On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
   1. Déterminer à partir de quelle valeur de $ x $ la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à 0,9. Arrondir le résultat au centième.
   2. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
      Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test?
      Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ par : $$f(x) = 2xe^{-x}.$$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.

1. 1. Résoudre sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ l’équation $ f(x) = x $.
   2. Démontrer que, pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; 1] $, $$ f'(x) = 2(1 - x)e^{-x}. $$
   3. Donner le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.
      On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = 0,1 $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n). $$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout $ n $ entier naturel, $$ 0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1. $$
   2. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
3. Démontrer que la limite de la suite $ (u_n) $ est $ \ln(2) $.
4. 1. Justifier que pour tout entier naturel $ n $, $ \ln(2) - u_n $ est positif.
   2. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $ \ln(2) $ par défaut à $ 10^{-4} $ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
      Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

      
          def seuil() :
              n = 0
              u = 0.1
              while ln(2) - u ... 0.0001 :
                  n = n + 1
                  u = ...
              return (u, n)
                      

   3. Donner la valeur de la variable $ n $ renvoyée par la fonction seuil().

On considère l’équation différentielle $$(E_0) : y' = y $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.

1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $ (E_0) $ est la fonction nulle.
2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E_0) $.

On considère l’équation différentielle $$ (E) : y' = y - \cos(x) - 3 \sin(x) $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.

3. La fonction $ h $ est définie sur $ \mathbb{R} $ par $ h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x) $.
   On admet qu’elle est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
   Démontrer que la fonction $ h $ est solution de l’équation différentielle $ (E) $.
4. On considère une fonction $ f $ définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $.
   Démontrer que : « $ f $ est solution de $ (E) $ » est équivalent à « $ f - h $ est solution de $(E_0)$ ».
5. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E) $.
6. Déterminer l’unique solution $ g $ de l’équation différentielle $ (E) $ telle que $ g(0) = 0 $.
7. Calculer : $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[-2e^x + \sin(x) + 2 \cos(x)\right] \mathrm{d}x. $$

L’espace est muni d’un repère orthonormé $ ( O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) $.
On considère :

• les points $ A(-2 ; 0 ; 2) $, $ B(-1 ; 3 ; 0) $, $ C(1 ; -1 ; 2) $ et $ D(0 ; 0 ; 3) $.
• la droite $ \mathcal{D}_1 $ dont une représentation paramétrique est : $$ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 3t \\ z = 3 + 5t \end{array} \right. \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}. $$
• la droite $ \mathcal{D}_2 $ dont une représentation paramétrique est : $$ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3s \\ y = -1 - 5s \\ z = 2 - 6s \end{array} \right. \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}. $$

1. Démontrer que les points $ A $, $ B $ et $ C $ ne sont pas alignés.
2. 1. Démontrer que le vecteur $ \overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} $ est orthogonal au plan (ABC).
   2. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : $$ x + 3y + 5z - 8 = 0. $$
   3. En déduire que les points $ A $, $ B $, $ C $ et $ D $ ne sont pas coplanaires.
3. 1. Justifier que la droite $ \mathcal{D}_1 $ est la hauteur du tétraèdre $ ABCD $ issue de $ D $.
      On admet que la droite $ \mathcal{D}_2 $ est la hauteur du tétraèdre $ ABCD $ issue de $ C $.
   2. Démontrer que les droites $ \mathcal{D}_1 $ et $ \mathcal{D}_2 $ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
4. 1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $ H $ du point $ D $ sur le plan (ABC).
   2. Calculer la distance du point $ D $ au plan (ABC).
      Arrondir le résultat au centième.

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est $(4;~5;~1)$.

1. Déterminer le nombre de tirages possibles.
2. 1. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
   2. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

On note $ X_1 $ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $ X_2 $ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $ X_3 $ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires $ X_1 $, $ X_2 $, et $ X_3 $ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $ X_1 $.
4. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $ X_1 $.

On note $ S = X_1 + X_2 + X_3 $ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

5. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $ S $.
6. Déterminer $ P(S = 24) $.
7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.
   1. Justifier qu’il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.
   2. En déduire la probabilité de gagner un lot.

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $ par : $$ f(x) = \frac{e^x}{x - 1}. $$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
On appelle $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en 1.
   2. En déduire une interprétation graphique.
2. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ -\infty $.
3. 1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}. $$
   2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
4. On admet que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ] - \infty ; 1[ $, on a : $$ f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}. $$
   1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d’abscisse 0.
   3. En déduire que, pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ e^x \geq (-2x - 1)(x - 1). $$
5. 1. Justifier que l’équation $ f(x) = -2 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.

Le cube $ ABCDEFGH $ a pour arête 1 cm.
Le point $ I $ est le milieu du segment $ [AB] $ et le point $ J $ est le milieu du segment $ [CG] $.

On se place dans le repère orthonormé $ ( A ; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE} ) $.

1. Donner les coordonnées des points $ I $ et $ J $.
2. Montrer que le vecteur $ \overrightarrow{EJ} $ est normal au plan $(FHI)$.
3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est : $$ -2x - 2y + z + 1 = 0. $$
4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
5. 1. On note $ K $ le projeté orthogonal du point $ E $ sur le plan $(FHI)$. Calculer ses coordonnées.
   2. Montrer que le volume de la pyramide $ EFHI $ est $ \frac{1}{6} $ cm$ ^3 $.

      On pourra utiliser le point $ L $, milieu du segment $ [EF] $. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $ I $ sur le plan $(EFH)$.

   3. Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$.

Partie A

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = \sqrt{x + 1}. $$

On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

1. Démontrer que la fonction $ f $ est croissante sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $.
2. Démontrer que pour tout nombre réel $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ : $$ f(x) - x = \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}. $$
3. En déduire que sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ l’équation $ f(x) = x $ admet pour unique solution : $$ \ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $$

Partie B

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = 5 $ et pour tout entier naturel $ n $, par $ u_{n+1} = f(u_n) $ où $ f $ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $ u_n $ est bien définie pour tout entier naturel $ n $.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ 1 \leq u_{n+1} \leq u_n. $$
2. En déduire que la suite $ (u_n) $ converge.
3. Démontrer que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
4. On considère le script Python ci-dessous :

   
       1   from math import *
       2   def seuil(n):
       3     u = 5
       4     i = 0
       5     l = (1 + sqrt(5)) / 2
       6     while abs(u - l) >= 10**(-n):
       7         u = sqrt(u + 1)
       8         i = i + 1
       9     return i
           

   On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $ x $.

   1. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).
   2. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
      Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.