Terminale Spécialité

Pour tout entier naturel $ n $, on considère les intégrales suivantes : $$I_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x)\,dx, \quad J_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos(x)\,dx.$$

1. Calculer $ I_0 $.
2. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_n \geq 0 $.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_{n+1} - I_n \leq 0 $.
   3. Déduire des deux questions précédentes que la suite $ (I_n) $ converge.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ I_n \leq \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx. $$
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx = \frac{1 - e^{-n\pi}}{n}. $$
   3. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $ (I_n) $.
4. 1. En intégrant par parties l’intégrale $ I_n $ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $ : $$ I_n = 1 + e^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et} \quad I_n = \frac{1}{n}J_n. $$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ I_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{n^2 + 1}. $$
5. On souhaite obtenir le rang $ n $ à partir duquel la suite $ (I_n) $ devient inférieure à 0,1.
   Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

On considère la fonction $ g $ définie sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ par : $$ g(x) = 2x - x^2. $$

1. Montrer que la fonction $ g $ est strictement croissante sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ et préciser les valeurs de $ g(0) $ et de $ g(1) $.
2. On considère la suite $ (u_n) $ définie par $$ \begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = g(u_n) \end{cases} $$ pour tout entier naturel $ n $.
   1. Calculer $ u_1 $ et $ u_2 $.
   2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $ 0 < u_n < u_{n+1} < 1 $.
   3. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
   4. Déterminer la limite $ \ell $ de la suite $ (u_n) $.
3. On considère la suite $ (v_n) $ définie pour tout entier naturel $ n $ par $ v_n = \ln(1 - u_n) $.
   1. Démontrer que la suite $ (v_n) $ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
   2. En déduire une expression de $ v_n $ en fonction de $ n $.
   3. En déduire une expression de $ u_n $ en fonction de $ n $ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
4. Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $ n $ à partir duquel la suite dépasse 0,95.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse puis justifier la réponse donnée.
Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

1. Affirmation 1 : Toute suite décroissante et minorée par 0 converge vers 0.
2. On considère une suite $ (u_n) $ définie sur $ \mathbb{N} $ telle que, pour tout entier $ n $, on a $$ u_n \leq \frac{-9^n + 3^n}{7^n}. $$
   Affirmation 2 : $ \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty $.
3. On considère la fonction suivante écrite en langage Python :

               def terme(N) :
                   U = 1
                   for i in range(N) :
                       U = U + i
                   return U
               

   Affirmation 3 : terme(4) renvoie la valeur 7.
4. Lors d’un concours, le gagnant a le choix entre deux prix :
   • Prix A : il reçoit 1 000 euros par jour pendant 15 jours ;
   • Prix B : il reçoit 1 euro le 1^er jour, 2 euros le 2^e jour, 4 euros le 3^e jour et pendant 15 jours la somme reçue double chaque jour.
   Affirmation 4 : La valeur du prix A est plus élevée que la valeur du prix B.
5. On considère la suite $ (v_n) $ définie pour tout entier $ n \geq 1 $ par $$ v_n = \int_{1}^{n} \ln x \, dx. $$
   Affirmation 5 : La suite $ (v_n) $ est croissante.

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = x^2 - x\ln(x). $$
On admet que $ f $ est deux fois dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On note $ f' $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ et $ f'' $ la fonction dérivée de la fonction $ f' $.

Partie A : Étude de la fonction $ f $

1. Déterminer les limites de la fonction $ f $ en 0 et en $ +\infty $.
2. Pour tout réel $ x $ strictement positif, calculer $ f'(x) $.
3. Montrer que pour tout réel $ x $ strictement positif : $$ f''(x) = \frac{2x - 1}{x}. $$
4. Étudier les variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   Les limites de la fonction $ f' $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $ f(x) = x $

On considère dans cette partie la fonction $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ g(x) = x - \ln(x). $$
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $, on note $ g' $ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $ g'(x) $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ g $.
   Les limites de la fonction $ g $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $ g(x) = 1 $.
   Résoudre, sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, l’équation $ f(x) = x $.

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = \frac{1}{2} $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n). $$

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $$ \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1. $$
2. Justifier que la suite $ (u_n) $ converge.
   On appelle $ \ell $ la limite de la suite $ (u_n) $ et on admet que $ \ell $ vérifie l’égalité $ f(\ell) = \ell $.
3. Déterminer la valeur de $ \ell $.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soit $ (u_n) $ une suite définie pour tout entier naturel $ n $ et vérifiant la relation suivante :

   $$ \dfrac{1}{2} < u_n \leq \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1} \text{ pour tout entier naturel } n $$.

   Affirmation 1 : $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2} $.

2. Soit $ h $ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 4]$. La représentation graphique $ \mathcal{C}_{h'} $ de sa fonction dérivée $ h' $ est donnée ci-dessous.

   Affirmation 2 : La fonction $ h $ est convexe sur $[-1 ; 3]$.



3. Le code d’un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).

   Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.

4. On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ par $ f(x) = x \ln x $.

   Affirmation 4 : La fonction $ f $ est une solution sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ de l’équation différentielle

   $$ x y' - y = x $$.

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ par : $$f(x) = 2xe^{-x}.$$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.

1. 1. Résoudre sur l’intervalle $ [0 ; 1] $ l’équation $ f(x) = x $.
   2. Démontrer que, pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; 1] $, $$ f'(x) = 2(1 - x)e^{-x}. $$
   3. Donner le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 1] $.
      On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = 0,1 $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n). $$
2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout $ n $ entier naturel, $$ 0 \leq u_n < u_{n+1} \leq 1. $$
   2. En déduire que la suite $ (u_n) $ est convergente.
3. Démontrer que la limite de la suite $ (u_n) $ est $ \ln(2) $.
4. 1. Justifier que pour tout entier naturel $ n $, $ \ln(2) - u_n $ est positif.
   2. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $ \ln(2) $ par défaut à $ 10^{-4} $ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
      Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

      
          def seuil() :
              n = 0
              u = 0.1
              while ln(2) - u ... 0.0001 :
                  n = n + 1
                  u = ...
              return (u, n)
                      

   3. Donner la valeur de la variable $ n $ renvoyée par la fonction seuil().

Partie A

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = \sqrt{x + 1}. $$

On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

1. Démontrer que la fonction $ f $ est croissante sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $.
2. Démontrer que pour tout nombre réel $ x $ appartenant à l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ : $$ f(x) - x = \frac{-x^2 + x + 1}{\sqrt{x + 1} + x}. $$
3. En déduire que sur l’intervalle $ [0 ; +\infty[ $ l’équation $ f(x) = x $ admet pour unique solution : $$ \ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. $$

Partie B

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = 5 $ et pour tout entier naturel $ n $, par $ u_{n+1} = f(u_n) $ où $ f $ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $ u_n $ est bien définie pour tout entier naturel $ n $.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ 1 \leq u_{n+1} \leq u_n. $$
2. En déduire que la suite $ (u_n) $ converge.
3. Démontrer que la suite $ (u_n) $ converge vers $ \ell = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $.
4. On considère le script Python ci-dessous :

   
       1   from math import *
       2   def seuil(n):
       3     u = 5
       4     i = 0
       5     l = (1 + sqrt(5)) / 2
       6     while abs(u - l) >= 10**(-n):
       7         u = sqrt(u + 1)
       8         i = i + 1
       9     return i
           

   On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de $ x $.

   1. Donner la valeur renvoyée par seuil(2).
   2. La valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
      Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.