Terminale Spécialité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soit $ (u_n) $ une suite définie pour tout entier naturel $ n $ et vérifiant la relation suivante :

   $$ \dfrac{1}{2} < u_n \leq \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1} \text{ pour tout entier naturel } n $$.

   Affirmation 1 : $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2} $.

2. Soit $ h $ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 4]$. La représentation graphique $ \mathcal{C}_{h'} $ de sa fonction dérivée $ h' $ est donnée ci-dessous.

   Affirmation 2 : La fonction $ h $ est convexe sur $[-1 ; 3]$.



3. Le code d’un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).

   Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.

4. On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ par $ f(x) = x \ln x $.

   Affirmation 4 : La fonction $ f $ est une solution sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ de l’équation différentielle

   $$ x y' - y = x $$.

On considère l’équation différentielle $$(E_0) : y' = y $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.

1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $ (E_0) $ est la fonction nulle.
2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E_0) $.

On considère l’équation différentielle $$ (E) : y' = y - \cos(x) - 3 \sin(x) $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.

3. La fonction $ h $ est définie sur $ \mathbb{R} $ par $ h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x) $.
   On admet qu’elle est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
   Démontrer que la fonction $ h $ est solution de l’équation différentielle $ (E) $.
4. On considère une fonction $ f $ définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $.
   Démontrer que : « $ f $ est solution de $ (E) $ » est équivalent à « $ f - h $ est solution de $(E_0)$ ».
5. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E) $.
6. Déterminer l’unique solution $ g $ de l’équation différentielle $ (E) $ telle que $ g(0) = 0 $.
7. Calculer : $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[-2e^x + \sin(x) + 2 \cos(x)\right] \mathrm{d}x. $$