Terminale Spécialité

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
— la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
— si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
— si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :

• $R$ l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;
• $E$ l'évènement « le joueur tire une épée » ;
• $\overline{R}$ et $\overline{E}$ et les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.

1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Un joueur remporte 30 défis. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geq k) \geq 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
   Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à 0,95. Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.