Terminale Spécialité

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.
Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :
— la probabilité de tirer un objet rare est de 7 % ;
— si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80 % ;
— si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40 %.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :

• $R$ l'évènement « le joueur tire un objet rare » ;
• $E$ l'évènement « le joueur tire une épée » ;
• $\overline{R}$ et $\overline{E}$ et les évènements contraires des évènements $R$ et $E$.

1. Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R \cap E)$.
2. Calculer la probabilité de tirer une épée.
3. Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Un joueur remporte 30 défis. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté 30 défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
2. Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
3. Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X \geq k) \geq 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.
   Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à 0,95. Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.

Les données publiées le 1^er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• 22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs ;
• 8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
• 1,27 % des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie I

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022. On note :

• $N$ l’évènement « le véhicule est neuf » ;
• $R$ l’évènement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
• $\overline{N}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires des évènements contraires de $ N $ et $ R $.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
3. Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,0283.
4. Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.

Partie II

Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.
Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.
On appelle $ X $ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu’exactement 325 de ces véhicules soient neufs.
3. Déterminer la probabilité $ p(X \geq 325) $ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie III

On choisit désormais $ n $ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $ n $ désigne un entier naturel strictement positif.
On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.
On assimile le choix de ces $ n $ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l’expression en fonction de $ n $ de la probabilité $ p_n $ que tous ces véhicules soient d’occasion.
2. On note $ q_n $ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $ n $ telle que $ q_n \geq 0,9999 $.

Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu’au 11 mai 2020, 5,7 % des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.
Source : https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext
On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

Partie A

1. On prélève un individu dans la population française adulte au 11 mai 2020.
   On note $ I $ l’évènement : « l’adulte a déjà été infecté par la COVID 19 ».
   Quelle est la probabilité que cet individu prélevé ait déjà été infecté par la COVID 19 ?
2. On prélève un échantillon de 100 personnes de la population supposées choisies de façon indépendante les unes des autres.
   On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
   On appelle $ X $ la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes ayant déjà été infectées.
   1. Justifiez que $ X $ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
   2. Calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’exercice.
   3. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune personne infectée dans l’échantillon ?
      On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.
   4. Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 2 personnes infectées dans l’échantillon ?
      On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.
   5. Déterminer le plus petit entier $ n $ tel que $ P(X \leq n) > 0,9 $.
      Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Partie B

Un test a été mis en place : celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l’infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.
Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.

Deux paramètres permettent de caractériser ce test : sa sensibilité et sa spécificité.
La sensibilité d’un test est la probabilité qu’il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (Il s’agit donc d’un vrai positif).
La spécificité d’un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n’a pas été infectée par la maladie. (Il s’agit donc d’un vrai négatif).
Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes :

• Sa sensibilité est de 0,8.
• Sa spécificité est de 0,99.

On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.
On note $ T $ l’évènement « le test réalisé est positif ».

1. Compléter l’arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l’énoncé :

2. Montrer que $ p(T) = 0,05503 $.
3. Quelle est la probabilité qu’un individu ait été infecté sachant que son test est positif ?
   On donnera une valeur approchée à $ 10^{-4} $ près du résultat.

Partie C

On considère un groupe d’une population d’un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,8 et de spécificité 0,99.
Dans ce groupe la proportion d’individus ayant un test positif est de 29,44 %.
On choisit au hasard un individu de ce groupe ; quelle est la probabilité qu’il ait été infecté ?

Léa passe une bonne partie de ses journées à jouer à un jeu vidéo et sintéresse aux chances de victoire de ses prochaines parties.
Elle estime que si elle vient de gagner une partie, elle gagne la suivante dans 70 % des cas.
Mais si elle vient de subir une défaite, dprès elle, la probabilité qulle gagne la suivante est de 0,2.
De plus, elle pense avoir autant de chance de gagner la première partie que de la perdre.
On s'appuiera sur les affirmations de Léa pour répondre aux questions de cet exercice.

Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on définit les évènements suivants :

• $ G_n $ : « Léa gagne la $ n $-ième partie de la journée »;
• $ D_n $ : « Léa perd la $ n $-ième partie de la journée ».

Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on note $ g_n $ la probabilité de lévènement $ G_n $.
On a donc $ g_1 = 0,5 $.

1. Quelle est la valeur de la probabilité conditionnelle $ p_{G_1}(D_2) $ ?
2. Recopier et compléter lrbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premières parties de la journée :
   
3. Calculer $ g_2 $.
4. Soit $ n $ un entier naturel non nul.
   1. Recopier et compléter l'arbre des probabilités ci-dessous qui modélise la situation pour les $ n $-ième et $ (n+1) $-ième parties de la journée.
      
   2. Justifier que pour tout entier naturel $ n $ non nul, $$ g_{n+1} = 0,5g_n + 0,2. $$
5. Pour tout entier naturel $ n $ non nul, on pose $ v_n = g_n - 0,4 $.
   1. Montrer que la suite $ (v_n) $ est géométrique.
      On précisera son premier terme et sa raison.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $ non nul : $$ g_n = 0,1 \times 0,5^{n-1} + 0,4. $$
6. Étudier les variations de la suite $ (g_n) $.
7. Donner, en justifiant, la limite de la suite $ (g_n) $.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de lénoncé.
8. Déterminer, par le calcul, le plus petit entier $ n $ tel que $ g_n - 0,4 \leq 0,001 $.
9. Recopier et compléter les lignes 4, 5 et 6 de la fonction suivante, écrite en langage Python, afin qulle renvoie le plus petit rang $ n $ à partir duquel les termes de la suite $ (g_n) $ sont tous inférieurs ou égaux à $ 0,4 + e $, où $ e $ est un nombre réel strictement positif.

   
                         def seuil(e):
                           g=0.5
                           n=1
                           while ... :
                             g = 0.5g+0.2
                             n = ...
                           return(n)