Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $T$ est tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
2. Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $A$ ?
3. La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous.
   Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
   Ce choix sera justifié.
1. 
2. 

4. 1. La courbe $C_3$ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $[0 ; +\infty[$ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

   2. 

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0 ; +\infty[$, est définie par : $$f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}.$$

On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

1. Étude de la fonction $f$
   1. Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1}$.
   2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$.
   3. Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.
2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $F(x) = (ax + b)e^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
   2. On admet que $F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
      En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de l'intégrale $$I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx.$$

3. 1. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
      Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\frac{3}{2} ; 8]$.
      L'unité de longueur est le mètre.

   2. 
   1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $D$.
   2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$^2$, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$f(x) = x^2 - x\ln(x).$$
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$.
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie A : Étude de la fonction $f$

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.
2. Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.
3. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f''(x) = \frac{2x - 1}{x}.$$
4. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $]0 ; +\infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $]0 ; +\infty[$.
   On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $f'$ sur $]0 ; +\infty[$.
   Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $f(x) = x$

On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $$g(x) = x - \ln(x).$$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $g'$ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$.
   Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $g(x) = 1$.
   Résoudre, sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$, l’équation $f(x) = x$.

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n).$$

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$\frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1.$$
2. Justifier que la suite $(u_n)$ converge.
   On appelle $\ell$ la limite de la suite $(u_n)$ et on admet que $\ell$ vérifie l’égalité $f(\ell) = \ell$.
3. Déterminer la valeur de $\ell$.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-\infty ; 1[$ par : $$f(x) = \frac{e^x}{x - 1}.$$

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty ; 1[$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en 1.
   2. En déduire une interprétation graphique.
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
3. 1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty ; 1[$, on a : $$f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}.$$
   2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty ; 1[$.
4. On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $] - \infty ; 1[$, on a : $$f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}.$$
   1. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty ; 1[$.
   2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 0.
   3. En déduire que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty ; 1[$, on a : $$e^x \geq (-2x - 1)(x - 1).$$
5. 1. Justifier que l’équation $f(x) = -2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty ; 1[$.
   2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.