Terminale Spécialité

Partie A

On considère une fonction $ f $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $ T $ est tangente à la courbe $C_f$ au point $ A $ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 5] $.
2. Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $ A $ ?
3. La dérivée $ f' $ et la dérivée seconde $ f'' $ de la fonction $ f $ sont représentées par les courbes ci-dessous.
   Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
   Ce choix sera justifié.
1. 
2. 

4. 1. La courbe $C_3 $ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $ [0 ; +\infty[ $ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

   2. 

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $ f $, définie et deux fois dérivable sur $ [0 ; +\infty[ $, est définie par : $$ f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}. $$

On notera respectivement $ f' $ et $ f'' $ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $ f $.

1. Étude de la fonction $ f $
   1. Montrer que $ f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1} $.
   2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $.
   3. Étudier la convexité de la fonction $ f $ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $.
2. On considère une fonction $ F $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $ par $ F(x) = (ax + b)e^{-x+1} $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs des réels $ a $ et $ b $ telles que la fonction $ F $ soit une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
   2. On admet que $ F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1} $ est une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
      En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près, de l'intégrale $$ I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx. $$

3. 1. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
      Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [\frac{3}{2} ; 8] $.
      L'unité de longueur est le mètre.

   2. 
   1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $ D $.
   2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$ ^2 $, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = x^2 - x\ln(x). $$
On admet que $ f $ est deux fois dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On note $ f' $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ et $ f'' $ la fonction dérivée de la fonction $ f' $.

Partie A : Étude de la fonction $ f $

1. Déterminer les limites de la fonction $ f $ en 0 et en $ +\infty $.
2. Pour tout réel $ x $ strictement positif, calculer $ f'(x) $.
3. Montrer que pour tout réel $ x $ strictement positif : $$ f''(x) = \frac{2x - 1}{x}. $$
4. Étudier les variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   Les limites de la fonction $ f' $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $ f(x) = x $

On considère dans cette partie la fonction $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ g(x) = x - \ln(x). $$
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $, on note $ g' $ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $ g'(x) $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ g $.
   Les limites de la fonction $ g $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $ g(x) = 1 $.
   Résoudre, sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, l’équation $ f(x) = x $.

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = \frac{1}{2} $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n). $$

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $$ \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1. $$
2. Justifier que la suite $ (u_n) $ converge.
   On appelle $ \ell $ la limite de la suite $ (u_n) $ et on admet que $ \ell $ vérifie l’égalité $ f(\ell) = \ell $.
3. Déterminer la valeur de $ \ell $.

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $ par : $$ f(x) = \frac{e^x}{x - 1}. $$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
On appelle $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en 1.
   2. En déduire une interprétation graphique.
2. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ -\infty $.
3. 1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}. $$
   2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
4. On admet que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ] - \infty ; 1[ $, on a : $$ f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}. $$
   1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d’abscisse 0.
   3. En déduire que, pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ e^x \geq (-2x - 1)(x - 1). $$
5. 1. Justifier que l’équation $ f(x) = -2 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.