Terminale Spécialité

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$f(x) = x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $ f $, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $A(1;~-1)$.
Cette tangente passe également par le point $B(0;~-4)$.

1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $ f $ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

1. Déterminer, en justifiant, la limite de $ f $ en $+\infty$, puis sa limite en 0.
2. On admet que la fonction $ f $ est deux fois dérivable sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   1. Déterminer $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Montrer que pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, $$f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$$
3. 1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Étudier les variations de la fonction $ f' $, puis le signe de $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
      En déduire le sens de variation de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
4. 1. Montrer que l’équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Donner la valeur arrondie au centième de $ \alpha $ et montrer que $ \alpha $ vérifie : $$\alpha^2 = \exp\left( \frac{1}{\alpha^2} \right)$$

Partie A

On considère une fonction $ f $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $ T $ est tangente à la courbe $C_f$ au point $ A $ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 5] $.
2. Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $ A $ ?
3. La dérivée $ f' $ et la dérivée seconde $ f'' $ de la fonction $ f $ sont représentées par les courbes ci-dessous.
   Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
   Ce choix sera justifié.
1. 
2. 

4. 1. La courbe $C_3 $ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $ [0 ; +\infty[ $ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

   2. 

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $ f $, définie et deux fois dérivable sur $ [0 ; +\infty[ $, est définie par : $$ f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}. $$

On notera respectivement $ f' $ et $ f'' $ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $ f $.

1. Étude de la fonction $ f $
   1. Montrer que $ f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1} $.
   2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $.
   3. Étudier la convexité de la fonction $ f $ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $.
2. On considère une fonction $ F $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $ par $ F(x) = (ax + b)e^{-x+1} $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs des réels $ a $ et $ b $ telles que la fonction $ F $ soit une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
   2. On admet que $ F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1} $ est une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
      En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près, de l'intégrale $$ I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx. $$

3. 1. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
      Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [\frac{3}{2} ; 8] $.
      L'unité de longueur est le mètre.

   2. 
   1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $ D $.
   2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$ ^2 $, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Soit $ (u_n) $ une suite définie pour tout entier naturel $ n $ et vérifiant la relation suivante :

   $$ \dfrac{1}{2} < u_n \leq \dfrac{3n^2 + 4n + 7}{6n^2 + 1} \text{ pour tout entier naturel } n $$.

   Affirmation 1 : $ \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1}{2} $.

2. Soit $ h $ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 4]$. La représentation graphique $ \mathcal{C}_{h'} $ de sa fonction dérivée $ h' $ est donnée ci-dessous.

   Affirmation 2 : La fonction $ h $ est convexe sur $[-1 ; 3]$.



3. Le code d’un immeuble est composé de 4 chiffres (qui peuvent être identiques) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B et C (exemple : 1232BA).

   Affirmation 3 : Il existe 20 634 codes qui contiennent au moins un 0.

4. On considère la fonction $ f $ définie sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ par $ f(x) = x \ln x $.

   Affirmation 4 : La fonction $ f $ est une solution sur $ \left] 0 ; +\infty \right[ $ de l’équation différentielle

   $$ x y' - y = x $$.

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $ par : $$ f(x) = \frac{e^x}{x - 1}. $$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
On appelle $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en 1.
   2. En déduire une interprétation graphique.
2. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ -\infty $.
3. 1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}. $$
   2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
4. On admet que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ] - \infty ; 1[ $, on a : $$ f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}. $$
   1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d’abscisse 0.
   3. En déduire que, pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ e^x \geq (-2x - 1)(x - 1). $$
5. 1. Justifier que l’équation $ f(x) = -2 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.