Terminale Spécialité

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$f(x) = x\ln(x^2) - \frac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ de la fonction $ f $, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au point $A(1;~-1)$.
Cette tangente passe également par le point $B(0;~-4)$.

1. Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $ f $ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe $(\mathcal{C}_f)$ ?

Partie B : étude analytique

1. Déterminer, en justifiant, la limite de $ f $ en $+\infty$, puis sa limite en 0.
2. On admet que la fonction $ f $ est deux fois dérivable sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   1. Déterminer $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Montrer que pour tout $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, $$f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$$
3. 1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Étudier les variations de la fonction $ f' $, puis le signe de $ f'(x) $ pour $ x $ appartenant à l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
      En déduire le sens de variation de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
4. 1. Montrer que l’équation $ f(x) = 0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
   2. Donner la valeur arrondie au centième de $ \alpha $ et montrer que $ \alpha $ vérifie : $$\alpha^2 = \exp\left( \frac{1}{\alpha^2} \right)$$

On considère la fonction $ f $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ f(x) = x^2 - x\ln(x). $$
On admet que $ f $ est deux fois dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $.
On note $ f' $ la fonction dérivée de la fonction $ f $ et $ f'' $ la fonction dérivée de la fonction $ f' $.

Partie A : Étude de la fonction $ f $

1. Déterminer les limites de la fonction $ f $ en 0 et en $ +\infty $.
2. Pour tout réel $ x $ strictement positif, calculer $ f'(x) $.
3. Montrer que pour tout réel $ x $ strictement positif : $$ f''(x) = \frac{2x - 1}{x}. $$
4. Étudier les variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l’extrémum de la fonction $ f' $ sur $ ]0 ; +\infty[ $.
   Les limites de la fonction $ f' $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
5. Montrer que la fonction $ f $ est strictement croissante sur $ ]0 ; +\infty[ $.

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire pour la résolution de l’équation $ f(x) = x $

On considère dans cette partie la fonction $ g $ définie sur $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$ g(x) = x - \ln(x). $$
On admet que la fonction $ g $ est dérivable sur $ ]0 ; +\infty[ $, on note $ g' $ sa dérivée.

1. Pour tout réel strictement positif, calculer $ g'(x) $, puis dresser le tableau des variations de la fonction $ g $.
   Les limites de la fonction $ g $ aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.
2. On admet que 1 est l’unique solution de l’équation $ g(x) = 1 $.
   Résoudre, sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $, l’équation $ f(x) = x $.

Partie C : Étude d’une suite récurrente

On considère la suite $ (u_n) $ définie par $ u_0 = \frac{1}{2} $ et pour tout entier naturel $ n $, $$ u_{n+1} = f(u_n) = u_n^2 - u_n\ln(u_n). $$

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $ n $ : $$ \frac{1}{2} \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 1. $$
2. Justifier que la suite $ (u_n) $ converge.
   On appelle $ \ell $ la limite de la suite $ (u_n) $ et on admet que $ \ell $ vérifie l’égalité $ f(\ell) = \ell $.
3. Déterminer la valeur de $ \ell $.

On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $ par : $$ f(x) = \frac{e^x}{x - 1}. $$

On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
On appelle $ \mathcal{C} $ sa courbe représentative dans un repère.

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en 1.
   2. En déduire une interprétation graphique.
2. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ -\infty $.
3. 1. Montrer que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ f'(x) = \frac{(x - 2)e^x}{(x - 1)^2}. $$
   2. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
4. On admet que pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ] - \infty ; 1[ $, on a : $$ f''(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5)e^x}{(x - 1)^3}. $$
   1. Étudier la convexité de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. Déterminer l’équation réduite de la tangente $ T $ à la courbe $ \mathcal{C} $ au point d’abscisse 0.
   3. En déduire que, pour tout réel $ x $ de l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $, on a : $$ e^x \geq (-2x - 1)(x - 1). $$
5. 1. Justifier que l’équation $ f(x) = -2 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l’intervalle $ ]-\infty ; 1[ $.
   2. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $ \alpha $ d’amplitude $ 10^{-2} $.