Terminale Spécialité

Pour tout entier naturel $ n $, on considère les intégrales suivantes : $$I_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\sin(x)\,dx, \quad J_n = \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\cos(x)\,dx.$$

1. Calculer $ I_0 $.
2. 1. Justifier que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_n \geq 0 $.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a $ I_{n+1} - I_n \leq 0 $.
   3. Déduire des deux questions précédentes que la suite $ (I_n) $ converge.
3. 1. Montrer que, pour tout entier naturel $ n $, on a : $$ I_n \leq \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx. $$
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ \int_{0}^{\pi} e^{-nx}\,dx = \frac{1 - e^{-n\pi}}{n}. $$
   3. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $ (I_n) $.
4. 1. En intégrant par parties l’intégrale $ I_n $ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $ : $$ I_n = 1 + e^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et} \quad I_n = \frac{1}{n}J_n. $$
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $ n \geq 1 $, on a : $$ I_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{n^2 + 1}. $$
5. On souhaite obtenir le rang $ n $ à partir duquel la suite $ (I_n) $ devient inférieure à 0,1.
   Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

Soit $ a $ un réel strictement positif.
On considère la fonction $ f $ définie sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $ par : $$f(x) = a\ln(x).$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $ x_0 $ un réel strictement supérieur à 1.

1. Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $C_f$ et de l’axe des abscisses.
2. Vérifier que la fonction $ F $ définie par $ F(x) = a[x\ln(x) - x] $ est une primitive de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ ]0 ; +\infty[ $.
3. En déduire l’aire du domaine bleuté en fonction de $ a $ et de $ x_0 $.


On note $ T $ la tangente à la courbe $C_f$ au point $ M $ d’abscisse $ x_0 $.
On appelle $ A $ le point d’intersection de la tangente $ T $ avec l’axe des ordonnées et $ B $ le projeté orthogonal de $ M $ sur l’axe des ordonnées.


4. Démontrer que la longueur $ AB $ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $ x_0 $) que l’on déterminera.

   Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.

Partie A

On considère une fonction $ f $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.
La droite $ T $ est tangente à la courbe $C_f$ au point $ A $ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

1. Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $ f $ sur l’intervalle $ [0 ; 5] $.
2. Que semble présenter la courbe $C_f$ au point $ A $ ?
3. La dérivée $ f' $ et la dérivée seconde $ f'' $ de la fonction $ f $ sont représentées par les courbes ci-dessous.
   Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente.
   Ce choix sera justifié.
1. 
2. 

4. 1. La courbe $C_3 $ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $ [0 ; +\infty[ $ d’une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

   2. 

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $ f $, définie et deux fois dérivable sur $ [0 ; +\infty[ $, est définie par : $$ f(x) = (4x - 2)e^{-x+1}. $$

On notera respectivement $ f' $ et $ f'' $ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $ f $.

1. Étude de la fonction $ f $
   1. Montrer que $ f'(x) = (-4x + 6)e^{-x+1} $.
   2. Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 $.
   3. Étudier la convexité de la fonction $ f $ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $ f $.
2. On considère une fonction $ F $ définie sur $ [0 ; +\infty[ $ par $ F(x) = (ax + b)e^{-x+1} $, où $ a $ et $ b $ sont deux nombres réels.
   1. Déterminer les valeurs des réels $ a $ et $ b $ telles que la fonction $ F $ soit une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
   2. On admet que $ F(x) = (-4x - 2)e^{-x+1} $ est une primitive de la fonction $ f $ sur $ [0 ; +\infty[ $.
      En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à $ 10^{-2} $ près, de l'intégrale $$ I = \int_{\frac{3}{2}}^{8} f(x) \, dx. $$

3. 1. Une municipalité a décidé de construire une piste de trottinette freestyle.
      Le profil de cette piste est donné par la courbe représentative de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [\frac{3}{2} ; 8] $.
      L'unité de longueur est le mètre.

   2. 
   1. Donner une valeur approchée au cm près de la hauteur du point de départ $ D $.
   2. La municipalité a organisé un concours de graffiti pour orner le mur de profil de la piste. L'artiste retenue prévoit de couvrir environ 75 % de la surface du mur.
      Sachant qu'une bombe aérosol de 150 mL permet de couvrir une surface de 0,8 m$ ^2 $, déterminer le nombre de bombes qu'elle devra utiliser pour réaliser cette œuvre.

On considère l’équation différentielle $$(E_0) : y' = y $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.

1. Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $ (E_0) $ est la fonction nulle.
2. Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E_0) $.

On considère l’équation différentielle $$ (E) : y' = y - \cos(x) - 3 \sin(x) $$ où $ y $ est une fonction dérivable de la variable réelle $ x $.

3. La fonction $ h $ est définie sur $ \mathbb{R} $ par $ h(x) = 2 \cos(x) + \sin(x) $.
   On admet qu’elle est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
   Démontrer que la fonction $ h $ est solution de l’équation différentielle $ (E) $.
4. On considère une fonction $ f $ définie et dérivable sur $ \mathbb{R} $.
   Démontrer que : « $ f $ est solution de $ (E) $ » est équivalent à « $ f - h $ est solution de $(E_0)$ ».
5. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $ (E) $.
6. Déterminer l’unique solution $ g $ de l’équation différentielle $ (E) $ telle que $ g(0) = 0 $.
7. Calculer : $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[-2e^x + \sin(x) + 2 \cos(x)\right] \mathrm{d}x. $$