Contrôles d'entraînement
Contrôle d'entraînement sur la logiquet et les raisonnements 1
Exercice 1
- Montrer que pour tout entier naturel $n \geq 6$, $2^n\geq 6n+7$
- On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et par la relation $u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < u_{n+1} < 3$
- Montrer que pour tout entier naturel $n\geq 2$ on a $$(1-\frac{1}{2^2})\times (1-\frac{1}{3^2})\times ... \times (1-\frac{1}{n^2}) = \frac{n+1}{2n}$$
- Montrer que pour tout entier naturel $7^n-1$ est un multiple de $3$
- On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et par la relation $u_{n+1}=2u_n + 1$ pour tout entier naturel. Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
Exercice 2
- Démontrer par contraposée que: $n$ premier $\implies$ $n=2$ ou $n$ est impair.
- Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $\sqrt{x^2+1}-x>0$ par disjonction de cas.
- Démontrer par contraposée que: $a \not = b \implies (a+1)(b-1)\not = (a-1)(b+1)$
- Démontrer par l'absurde que $0$ n'a pas d'inverse.
- Démontrer par l'absurde que pour tout entier naturel $n$, $\sqrt{n^2+6}$ n'est pas entier
