$x$ est un nombre réel positif. Démontrer par récurrence l'inégalité suivante.

Pour tout entier naturel $n$

$(1+x)^n\geq 1+nx$.

Le but de cet exercice est de prouver les résultats suivants en déterminant soi-même le type de raisonnement à utiliser.

1. Montrer que pour tout entier $n$, $\dfrac{n(n+1)}{2}$ est un entier naturel.
2. Montrer que si pour tout nombre réel $\epsilon>0$, $|a|<\epsilon$ alors $a=0$.
3. Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à 1, montrer que $\sqrt{n^2-1}$ n'est pas entier.
4. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-1$ est divisible par 8.

On considère la suite définie pour tout entier naturel par $u_{n+1}=u_{n}+2n+5$ et $u_{0}=2$

Démontrer que tout entier naturel $n$, $u_{n}>n^2$

On considère l'équation: $$7x^5-10x^4+8x-3=0$$

Démontrer que cette équation n'admet pas de solution entière.

On considère la suite définie pour tout entier naturel par $u_{n+1}=u_{n}+2n+1$ et $u_{1}=1$

1. Calculer $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$, $u_{5}$
2. Conjecturer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$
3. Démontrer cette conjecture par récurrence

Soit $u_{n}$ la suite définie par $u_{0}=0,7$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{1+2u_{n}}$

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infin[$ par $f(x)=\dfrac{3x}{1+2x}$

1. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infin[$
2. En déduire que si $x\in [0;1]$ alors $f(x)\in [0;1]$
3. Démontrer par récurrence que $0\leq u_{n}\leq u_{n+1}\leq 1$ pour tout nombre entier naturel
4. Que peut-on en déduire pour la suite?

La suite de Fibonacci $(F_n)_{n \geq 0}$ est définie par : $$F_0 = 0, \quad F_1 = 1 ; \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n.$$ Cette suite a été introduite par Leonardo Fibonacci au treizième siècle pour décrire la croissance d'une population de lapins.

La suite de Fibonacci possède de nombreuses applications, elle permet par exemple de construire la spirale de Fibonacci que l'on retrouve dans de nombreux éléments naturels comme les fleurs de Tournesol ou certains coquillages

On pose

$$\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.$$

Pour $n \in \mathbb{N}$, soit $P_n$ la propriété : $F_n = \dfrac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}.$

Démontrer par récurrence cette propriété en faisant une récurrence à deux termes, c'est à dire en supposant que $P_n$ et $P_{n+1}$ sont vraies.