La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10% chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ représente l'effectif de la population au début de l'année 2020+$n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n}\geq 0$
Au début de l'année 2020, la population étudiée compte 2000 individus, ainsi $u_{0}=2000$

1. Justifier que la suite $(u_{n})$ vérifie la relation de récurrence $u_{n+1}=0,9u_{n}+100$
2. Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$: $1000 < u_{n+1}\leq u_{n}$
4. La suite $(u_{n})$ est-elle convergente? Justifier la réponse.
5. On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-1000$
1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9
2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1000(1+0,9^n)$
3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. En donner une interprétation dans le context de l'exercice
6. On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil $S$ (avec $S >1000)$. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.

       def population(S):
         n=0
         u=2000
         while ...:
           u = ...
           n = ...
         return ..

Au début de l'année 2021 une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

où $u_n$ désigne le nombre d'invidus au début de l'année 2021+$n$

1. Donner une estimation, selon cez modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;100]$ par $f(x)=0,008x(200-x)$.

2. Résoudre dans l'intervalle $[0;100]$ l'équation $f(x)=x$
3. 1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0;100]$ et dresser son tableau de variations.
   2. En remarquant que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$ démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$:

      $0\leq u_n \leq u_{n+1} \leq 100$

   3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente
   4. Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
4. On considère l'algorithme suivant:

       def seuil(p):
         n=0
         u=40
         while u < p:
           n = n+1
           u = 0.008*u*(200-u)
         return n+2021

   L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par:

$\begin{cases}u_{0}=v_{0}=1\\ u_{n+1}=u_{n}+v_{n}\\ v_{n+1}=2u_{n}+v_{n}\end{cases}$

Dans toute le suite de l'exercice on admet que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont strictement positives.

1. 1. Calculer $u_1$ et $v_1$
   2. Démontrer que la suite $(v_n)$ est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \geq 1$
   3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n \geq n+1$
   4. En déduire la limite de la suite $(u_n)$
2. On pose, pour tout entier naturel $n$:
   $r_n = \dfrac{v_n}{u_n}$
   On admet que:
   $r_n^2 = 2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$:
      $\dfrac{-1}{u_n^2}\leq \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leq \dfrac{1}{u_n^2}$
   2. En déduire:
      $\lim\limits_{n \to +\infin }\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}$
   3. Déterminer la limite de la suite $(r_{n}^2)$ et en déduire que $(r_{n})$ converge vers $\sqrt{2}$
   4. Démontrer que pour tout entier naturel $n$:
      $r_{n+1} =\dfrac{2+r_n}{1+r_n}$
   5. On considère le programme suivant écrit en langage Python

          def seuil(p):
            n=0
            r=1
            while abs(r-sqrt(2)) > 10**(-4):
              r = (2+r)/(1+r)
              n = n+1
            return n

      (abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(-4) représente $10^{-4}$)
      La valeur de $n$ renvoyée par ce programme est 5.
      À quoi correspond-elle?

Question 1

On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$. On sait que tout entier naturel $n$, on a $u_n \leq v_n \leq w_n$ et de plus: $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n = 1$ et $\lim\limits_{n \to +\infin }w_n = 3$. On peut alors affirmer que:

1. la suite $(v_n)$ converge;
2. Si la suite $(u_n)$ est croissante alors la suite $(v_n)$ est minorée par $u_0$;
3. $1\leq v_0 \leq 3$;
4. la suite $(v_n)$ diverge;

Question 2

On considère une suite $(u_n)$ telle que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_n \leq u_{n+1} \leq \frac{1}{n}$
On peut alors affirmer que:

1. la suite $(u_n)$ diverge;
2. la suite $(u_n)$ converge;
3. $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n = 0$
4. $\lim\limits_{n \to +\infin }u_n = 1$

Question 3

On considère une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$ on a $n < u_n < n+1$.
On peut alors affirmer que:

1. Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier;
2. la suite $(u_n)$ est croissante;
3. la suite $(u_n)$ est convergente;
4. la suite $(u_n)$ n'a pas de limite;

Question 4

On considère trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ telles que pour tout entier naturel $n$,

$u_n = 1-(\frac{1}{4})^n$ et $v_n = 1+(\frac{1}{4})^n$

On considère de plus que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq v_n \leq w_n$. On peut alors affirmer que:

1. les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont géométriques;
2. la suite $(w_n)$ converge vers 1;
3. la suite $(u_n)$ est minorée par 1;
4. la suite $(w_n)$ est croissante;

Question 5

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{3n}{n+2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infin$. On peut alors affirmer que:

1. $\lim\limits_{n \to +\infin }v_n = 1$
2. $\lim\limits_{n \to +\infin }v_n = 3$
3. $\lim\limits_{n \to +\infin }v_n = \frac{3}{2}$
4. On ne peut pas la déterminer